1、空间中直线与直线之间的位置关系基础过关练题组一空间两条直线的位置关系的判定1.(2021浙江金华高二上期中)若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.(2021陕西咸阳高一上期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线的条数为()A.1B.2C.3D.43.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN是平行直线D.直线AM与DD1是异面直线题组二公理4及等角定理的
2、应用4.(2021安徽蚌埠高二上期中)若空间两个角与的两边分别对应平行,当=60时,等于()A.30B.30或120C.60D.60或1205.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,DA,AC的中点,则下列说法不正确的是()A.M,N,P,Q四点共面B.QME=CBDC.BCDMEQD.四边形MNPQ为梯形6.如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)DNM=D1A1C1.题组三异面直线所成的角7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2
3、,BB1=1,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为()A.30B.45C.60D.908.(2021湖南长沙雅礼教育集团高二上期中)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是.能力提升练一、选择题1.()空间中有三条线段AB,BC,CD,且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交2.(2021浙江绍兴诸暨中学高二上期中,)设P是直线l外一定点,过点P且与l成60角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.仅有一条3.(2020浙江杭州高级中学高二上期末,)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正
4、方体纸盒中有下列结论:ABEF;AB与CM成60角;EF与MN是异面直线;MNCD,其中正确的是()A.B.C.D.二、填空题4.()如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是(填序号).5.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是.三、解答题6.()如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=23,ABC=120,若异面直线A1B和AD1所成的角为90,试求AA1的长度.7.()正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都为a
5、,E,F分别是SC,AB的中点,求异面直线EF和SA所成的角.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础过关练1.D2.C3.BD4.D5.D7.C1.D因为两直线相交只有一个公共点,两直线平行或异面没有公共点,所以选D.2.C在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1,共3条.故选C.3.BDA,M,C,C1四点不共面,直线AM与CC1是异面直线,故A中说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故B中说法正确;直线AM与BN不同在任何一个平面内,是异面直线,故C中说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线
6、,故D中说法正确.故选BD.4.D空间两个角与的两边分别对应平行,这两个角相等或互补,=60,=60或=120.故选D.5.D由中位线定理,易知MQBD,MEBC,QECD,NPBD.对于A,由公理4易得MQNP,所以M,N,P,Q四点共面,故A中说法正确;根据等角定理,得QME=CBD,MEQ=BCD,所以BCDMEQ,故B、C中说法正确;由三角形的中位线定理及公理4,知MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中说法不正确.故选D.6.证明(1)如图,连接AC,在ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,MN是ACD的中位线,MNAC,且MN=12AC.由正方体的性质得ACA1C1,AC
7、=A1C1,MNA1C1,MN=12A1C1,即MNA1C1,四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1,DNM与D1A1C1相等或互补.而DNM与D1A1C1均为锐角,DNM=D1A1C1.7.C如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则ACA1C1DE,则BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=2,所以BDE=60,所以异面直线BD与AC所成的角为60.故选C.8.答案60解析连接AD1,易知AD1BC1,CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1
8、,CAD1=60,即AC与BC1所成角的大小为60.能力提升练1.D2.A3.A一、选择题1.D由图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况,故选D.2.A如图:依题意,设过点P且与直线l平行的平面为,在内过P作l的平行线l,在内过P作直线m,使m与l的夹角为60.将绕l旋转,且使不过直线l,则m每旋转到一个新位置得到的直线均与l异面,且与l的夹角均为60,故选A.3.A把纸盒展开图还原成正方体,如图,连接CM,易知ABCM,而CMEF,所以ABEF,即正确;因为ABCM,所以错误;EF与MN是异面直线,所以正确;MN与CD是异面直线,所以错误.故选A.二、填空题4.答案解析中PQRS,中PQ
9、和RS相交.5.答案90解析如图,过点M作MEDN交CC1于点E,连接A1E,则A1ME(或其补角)即为异面直线A1M与DN所成的角.设正方体的棱长为a,则A1M=32a,ME=54a,A1E=414a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以A1ME=90,即异面直线A1M与DN所成的角为90.三、解答题6.解析连接CD1,AC,由题意,得A1D1BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,则AD1C=90,所以AD1C是等腰直角三角形.所以AD1=22AC.又底面ABCD是菱形,且AB=BC=23,ABC=120
10、,所以AC=23sin 602=6,所以AD1=22AC=32,所以AA1=AD12-A1D12=(32)2-(23)2=6.7.解析如图,取SB的中点G,连接EG,GF,SF,CF.在SAB中,F,G分别是AB,SB的中点,FGSA,且FG=12SA.于是异面直线EF与SA所成的角就是直线EF与FG所成的角.在SAB中,SA=SB=a,AF=FB=12a,SFAB,且SF=32a.同理可得CFAB,且CF=32a.在SFC中,SF=CF=32a,SE=EC,FESC,且FE=SF2-SE2=22a.在SAB中,FG是中位线,FG=12SA=a2.在SBC中,GE是中位线,GE=12BC=a2.在EGF中,FG2+GE2=a22=FE2,EGF是以EGF为直角的等腰直角三角形,EFG=45.异面直线EF与SA所成的角为45.
