1、专题强化练7直线方程中的对称及最值问题一、选择题1.(2021四川绵阳高二月考,)已知点A(1,2),B(3,1)关于直线l对称,则直线l的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=02.(2021河南洛阳高一上期末,)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为()A.1,3B.-12,-32C.-2,0D.12,-523.(2020广东广州荔湾高二上期末,)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1-m,2m-1),点B(-2,1),直线l:ax+by=0.如果对任意的mR,点A到直线l的距离均为定值,那么点
2、B关于直线l的对称点B1的坐标为()A.(0,2)B.25,115C.(2,3)D.25,34.(2021河南南阳高一上期末,)一束光线从点P(2,9)射向y轴上一点A,又从点A以y轴为镜面反射到x轴上一点B,最后从点B以x轴为镜面反射,该光线经过点Q(3,3),则该光线从P点运行到Q点走过的路程为()A.37B.13C.35D.125.(2021北京普通高中高考数学仿真测试,)已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A且交l于点C,若ABC的面积为2,则k的值为()A.3或13B.0C.13D.3二、填空题6.(2021上海中学高二上期中,)将一张坐标纸
3、折叠一次,使得点(0,2)与点(-2,0)重合,且点(2020,2021)与点(m,n)重合,则n-m=.7.(2020北京海淀高二期中,)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系xOy中,设军营所在位置为B(-4,-4),若将军从点A(-2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=2,则“将军饮马”的最短总路程为.8.(2021山东临沂高二上期末,)如图,光线从P(a,0)(a0)出发,经过直线l:x-3y=0反
4、射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b13,则实数a的最小值是.9.(2020湖北荆门高三联考,)在等腰直角三角形ABC中,点P是边AB上异于A、B的一点.光线从点P出发,经过BC、CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,且|AB|=|AC|=4,则|AP|=.三、解答题10.(2021安徽黄山屯溪一中高二上期中,)已知某入射光线经过直线l1:3x-y+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标;(2)求反射光线所在的直线l3的方程;(3)求与l3的距离为10的直线
5、方程.11.(2020湖北黄冈高二月考,)已知直线l的方程为x+2y-1=0,A(1,4),B(3,2).(1)求直线AB的方程;(2)在直线l上求一点M,使得|AM|+|BM|最小;(3)在直线l上求一点N,使得|AN|-|BN|最大.专题强化练7直线方程中的对称及最值问题1.B2.B3.B4.B5.B一、选择题1.B由题意得直线l是线段AB的垂直平分线.易得线段AB的中点为1+32,2+12,即2,32,直线AB的斜率k=2-11-3=-12,直线l的斜率kl=2,直线l的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0.故选B.方法总结若A,B两个点关于直线l对称,则满足两个条件,一是
6、线段AB的中点在直线l上,二是AB所在的直线与直线l垂直.2.B因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,所以直线AB与直线ax+y+b=0垂直,且线段AB的中点在直线ax+y+b=0上,易得直线AB的斜率为4-00-2=-2,线段AB的中点为(1,2),则有-2(-a)=-1,a1+2+b=0,解得a=-12,b=-32.3.B设A(x,y),则x=1-m,y=2m-1,因为2x+y=2(1-m)+2m-1=1,所以点A在直线2x+y-1=0上,因为对任意的mR,点A到直线l的距离均为定值,所以直线l与直线2x+y-1=0平行,故-ab=-2,即2b=a,故直线l的方程为
7、2x+y=0.设点B关于直线l的对称点B1的坐标为(m,n),则2-2+m2+1+n2=0,n-12+m(-2)=-1,解得m=25,n=115.故选B.4.B如图,点P(2,9)关于y轴对称的点为P(-2,9),点Q(3,3)关于x轴对称的点为Q(3,-3),则该光线从P点运行到Q点走过的路程为|PQ|=52+(-12)2=13.故选B.5.B设直线m的方程为y=k(x+2)+1,点A(-2,1)到直线l:x+y-1=0的距离d=|-2+1-1|2=2,故|AB|=22,设点C到直线AB的距离为h,由SABC=1222h=2,得h=2,所以|AC|=2,由x+y-1=0,y=k(x+2)+1
8、,得C-2kk+1,3k+1k+1,故-2kk+1+22+3k+1k+1-12=4,解得k=0,故选B.二、填空题6.答案1解析设A(0,2),B(-2,0),所以折叠前线段AB的中点坐标为0-22,2+02,即(-1,1),A,B两点确定的直线的斜率k=1,所以折痕所在直线的斜率为-1,所以折痕所在直线的方程为y=-x,由点(0,2)和点(-2,0)关于直线y=-x对称,得到点(2020,2021)与点(m,n)也关于直线y=-x对称.则m=-2021,n=-2020,所以n-m=1.故答案为1.7.答案10信息提取直线x+y=2同侧有A,B两点;在直线x+y=2上找一点P,使得|PA|+|
9、PB|最短.数学建模本题以“将军饮马”问题为背景,考查点关于直线的对称问题,作出辅助图形是解决本题的关键.解析如图,点A关于直线x+y=2的对称点为A,则|AB|即为“将军饮马”的最短总路程.设A(a,b),则a-22+b+02=2,b-0a+2(-1)=-1,解得a=2,b=4,则|AB|=(2+4)2+(4+4)2=10,故“将军饮马”的最短总路程为10.8.答案5解析设点P关于直线l的对称点为P(m,n),直线l的斜截式方程为y=13x,所以0+n2=13a+m2,n-0m-a13=-1,解得m=45a,n=35a,所以点P45a,35a,根据直线的两点式方程得到直线PQ的方程为y-03
10、5a-0=x-b45a-b,整理可得3ax-(4a-5b)y-3ab=0,因为反射光线恰与直线l平行,所以3a4a-5b=-13,所以a=513b,又因为b13,所以a5,则a的最小值是5.故答案为5.9.答案43解析以A为原点,直线AB为x轴,直线AC为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设ABC的重心为D,则D点坐标为43,43,设P点坐标为(m,0),0m4,则P点关于y轴的对称点为P1(-m,0),易得直线BC的方程为x+y-4=0,所以P点关于直线BC的对称点为P2(4,4-m),根据光线反射原理,可知P1,P2均在QR所在直线上,kP1D=kP2D,即4343+m=43-4+m43-4,解得m=43或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去,m=43,即|AP|=43.故答案为43.
