1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有_,但最大(小)值只有_;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上_最大值与最小值；在(a，b)上连续的函数或在a，b上的不连续函数_最大值与最小值.3.求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤是：(1) _;(2) _.知识导学 通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局
2、部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在a,b内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在a,b内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值.疑难突破
3、 本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. 函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有. 求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们
4、认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x3,x3;(2)f(x)=6-12x+x3,x,1.思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得x=1.f(1)=2,f(-1)=-2，f()=0,f(3)=-18.f(x)max=2,f(x)min=-18.(2)f(x)=-12+3x2=0，x=2.当x(-,-2)时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(-2,2)时,f(x)0，f(x)为减函数;当x,1时,f(
5、x)为减函数.f(x)min=f(1)=-5,f(x)max=f(-)=.绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间a,b上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可.变式训练：求下列函数的最值.(1)f(x)=sin2x-x(-x);(2)f(x)=(0x1,a0,b0).解:(1)f(x)=2cos2x-1,令f(x)=0，得x=.f()=,f(-)=.又f()=-,f(-)=,f(x)max=,f(x)min=.(2)f(x)=.令f(x)=0,即b2x2-a2(1-x)2=0,解得x=.当0x时,f(
6、x)0,当x1时,f(x)0.函数f(x)在点x=处取得极小值,也是最小值为f()=(a+b)2,即f(x)min=(a+b)2.【例2】设函数f(x)是定义在-1,0)(0,1上的偶函数,当x-1,0)时,f(x)=x3-ax(aR).(1)当x(0,1时，求f(x)的解析式；(2)若a3，试判断f(x)在(0，1上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a，使得当x(0,1时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)x(0,1时,-x-1,0),f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x3.又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x)
7、,即f(x)=ax-x3.(2)f(x)=-3x2+a.x(0,1,x2(0,1.-3x2-3.a3,-3x2+a0.故f(x)在(0,1上为增函数.(3)假设存在a,使得当x(0,1时,f(x)有最大值1.f(x)=a-3x2;令f(x)=0,-3x2+a=0,即a0时,x=.又x(0,1,x=且1.f(x)在(0, )上大于0，在(,1)上不小于0.f(x)极大值=f()=.a=时，f(x)有最大值1.绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=在-1，3上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f(x)=.在定义域内不可导点为x1=0,x2=
8、2.令f(x)=0，得x=1.又f(-1)=,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=,在x=-1点和x=3点，y有最大值f(-1)=f(3)=.在x=0点和x=2点,y有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】 已知x、y为正实数,且满足关系式x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.思路分析:题中有两个变量x和y,首先应选择一下主要变量,将x、y表示为某一个变量(x或y或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y2=2x-x2,y0,y=.xy=x.由解得0x2.设f(x)=xy=(0x2)
9、.当0x2时,f(x)=.令f(x)=0，得x=或x=0(舍)，f()=.又f(2)=0,函数f(x)的最大值为,即xy的最大值为.方法二:由x2-2x+4y2=0,得(x-1)2+4y2=1(x0,y0).设x-1=cos,y=sin(0),xy=sin(1+cos).设f()=sin(1+cos),则f()=-sin2+(1+cos)cos=(2cos2+cos-1)=(cos+1)(cos-).令f()=0,得cos=-1或cos=.0,=,此时x=,y=.f()=.f()max=,即当x=,y=时,xymax=.绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,
10、巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M在抛物线y2=2px(p0)上,问M在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(,y),则d=|MP|2=(-p)2+(y-p)2,d=2(-p)+2(y-p)=-2y+2y-2p.由d=0,得y=.此时M()为所求.问题探究问题：怎样理解在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值和最小值?导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值. 在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.高考资源网版权所有，侵权必究！
