1、1.3.2 极值点5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.关于函数的极值,下列说法正确的是( )A.导数为零的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数答案：D解析：A导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3,f(0)=0，但x=0不是极值点，A错.B错,极小值不一定小于极大值.C错,f(x)在定义域内可能有多个极值点.2.已知函数y=|x2-3x+2|,则( )A.y有极小值,但无极大值 B.y有极小值0,但无极大值C.y有极小值0,极大值 D.y有
2、极大值,但无极小值答案：C解析：作出函数f(x)的图象知极小值为0,极大值为.3.函数y=(x2-1)3+1,在x=-1处( )A.有极大值 B.有极小值 C.无极值 D.无法确定极值情况答案：C解析：y=3(x2-1)22x=6x(x2-1)2,当x-1时,y0;当x=-1时,y=0;当-1x0时,y0.因此,x=-1并不是极值点.4.函数y=cos2x在(0,)内的极_值是_.解析：y=-2sin2x,令y=0.0x,x=.又0x时，y0;x0,当x=时,y取极小值-1.答案:小 -110分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.若函数y=f(x)可导,则“f(x)=0有实根”是“f(x)有
3、极值”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A2.函数y=1+3x-x3有( )A.极小值-2,极大值2 B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1 D.极小值-1,极大值3答案：D解析：y=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y=0,得x1=-1,x2=1.当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-1x0,函数y=1+3x-x3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数.当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,
4、已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案：D 解法一:(直接法)f(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,所以a=5.解法二:(验证法)当a=2时,f(x)=3x2+4x+3=0,无解,排除A;当a=3时,f(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件,排除B;当a=4时,f(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件,排除C,故选D.4.函数y=ax-eax(a0)当x=_时,有_值为_.解析:y=a-aeax,令y=0,得x=0.而当x0,eax 1.aeax 0.同理,x0时,a-aeax 0.当x=0时,y
5、极大值=-1.答案:0 大 -15.关于函数f(x)=x3-3x2有下列命题,其中正确命题的序号是_.f(x)是增函数 f(x)是减函数，无极值 f(x)的增区间是（-,0)和（2,+)，减区间为（0，2） f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值解析:f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,则x=0或x=2.利用极值的求法可求得x=0是极大值点,x=2是极小值点.答案:6.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值,且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.解:(1)由f(-1)=f(1)=0,得3a+2b+
6、c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,a+b+c=-1.a=,b=0,c=.(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x-1)(x+1);当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的范围是_.解析:(1)利用导数,由题设可得f(x)=3x2-3b,若该函数在(0,1)内有极小值,只需该二次函数的较大根在此区间内即可,即0b1,从而有00),令f(x)=0,得x=a,当-axa时,f(x)a或x0,函数递增.f(-a)=-a3+3a3+a0,f(a)=a3-3a3+a.答案:(1)0b4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_
7、.解析:x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2),f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.f(2)=c2-8c+12=0.c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,c=6.答案:65.函数y=x3-6x+a的极大值为_,极小值为_.答案：a+4 a-46.求函数y=(x+2)2(x-1)3的极值.解:f(x)=2(x+2)(x-1)3+3(x+2)2(x-1)2=(x+2)(x-1)2(5x+4).令f(x)=0,解得x=-2,或x=，或x=1.x(-,-2)-2(-2,)(,1)1(1,+)y+0-0+0+y极大极小无当x=-2时,有极大值
8、0;当x=时,有极小值.7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:(1)x0的值;(2)a、b、c的值.答案：(1)解:由图象可知在(-,1)上f(x)0,在(1,2)上f(x)0.故f(x)在(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x0=1.(2)解法一:f(x)=3ax2+2bx+c,由f(1)=0,f(2)=0,f(1)=5,得解得a=2,b=-9,c=12.解法二:设f(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,又f(x)=3ax2+2
9、bx+c,所以a=,b=m,c=2m,f(x)=x3mx2+2mx.由f(1)=5,即m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12.8.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.解:(1)f(x)=3x2-2x-1.若f(x)=0,则x=,1.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:x(-,)(,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f()=+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由
10、此可知x取足够大的正数时,有f(x)0,x取足够小的负数时有f(x)0.所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.结合f(x)的单调性可知.当f(x)的极大值a0,即a(1,+)时,它的极大值也大于0,因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-,)上.所以当a(-,-)(1,+)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.9.已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b、cR为常数.若b24(c-1),讨论函数f(x)的单调性.解:求导，得f(x)=x2+(b+2)x+b+cex,因b24(c-1),故方程f(x)=0,即x2+(b+2)x+b+c=0有两根;x1=0,解得xx2;又令f(x)0,解得x1xx2,故当x(-,x1)时,f(x)是增函数;当x(x2,+)时,f(x)是增函数;但当x(x1,x2)时,f(x)是减函数.
