1、互动课堂疏导引导 本节的重点是函数的和、差、积、商的导数的求导法则及应用.1.导数运算法则及证明法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即(uv)=uv.证明:令y=f(x)=u(x)v(x).y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=u(x+x)-u(x)v(x+x)-v(x)=uv,=.=()=u(x)v(x), 即y=(uv)=uv.法则2:两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即(uv)=uv+uv.证明:令y=f(x)=u(x)v(x).y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=u(x+x)
2、v(x+x)-u(x)v(x+x)+u(x)v(x+x)-u(x)v(x),=v(x+x)+u(x). 因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时v(x+x)v(x),从而=v(x+x)+u(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),即y=(uv)=uv+uv.疑难疏引 (1)牢记公式的形式(uv)uv,避免与(uv)=uv混淆.(2)若C为常数,则(Cu)=Cu+Cu=0+Cu=Cu,即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.(3)由法则2和法则1,又得au(x)bv(x)=au(x)bv(x),a、b为常数.(4)法则1和法则2均可推广到两个以上函数的和(或差)、积求导
3、.法则3:商的导数公式及证明:()=(v0). 回顾导数的定义:f(x)= =.证明:设y=f(x)=(v(x)0), 则y=f(x+x)-f(x)=-=, 所以. 因为v(x)在点x处可导,所以v(x)在点x处连续,于是当x0时,v(x+x)v(x). 从而=, 即y=()=().2.对公式的说明(1)类比:(uv)=uv+uv,()=,注意差异,加以区分.(2)(),且().(3)法则1、2、3两函数的和、差、积、商的导数法则,称为可导函数四则运算的求导法则.(4)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商分母不为零)必可导.其结果由法则1、2、3可得. 若两个函数不可导,则它们的和、差、
4、积、商不一定不可导.3.运用导数的运算法则应注意的问题(1)对函数变形化简后再求导，而不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便甚至错误，先化简求导是实施求导运算的基本方法，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略.(2)商的求导法则与积的求导法则相近而造成它们之间容易混淆，通过变式训练，加深对商的求导法则的理解，并能正确运用函数式的恒等变形，尽可能避免使用商的求导法则，减少运算量.案例1 (1)求曲线y=在点(1，1)处的切线方程；(2)运动曲线方程为S=+2t2，求t=3时的速度.【探究】(1)y=yx=1=0，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0 因此曲线y=在(1，1)处的切线方程为y=1
5、(2)S=()+(2t2)=+4t=+4tSt=3=【规律总结】正确运用导数的四则运算法则求出导数，这是解题的关键.案例2 已知曲线C1：y=x2与C2：y=-(x-2)2，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.【探究】设l与C1相切于点P(x1，)，与C2相切于Q(x2，-(x2-2)2). 对C1：y=2x，则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1)， 即y=2x1x-. 对C2：y=-2(x-2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x22)(x-x2)，即y=-2(x2-2)x+-4. 两切线重合， 解得或，直线方程为y=0或y=4x-4.【规律总结
6、】 函数在某点的导数值就是过这一点的切线的斜率，本题所求的直线l实际上是所给两圆的公切线，因此，利用两个圆的切线的斜率相等，最终求得直线l的方程.活学巧用1.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100),则f(0)等于( )A.100 B.0 C.100! D.1解析：f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100)f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)+x(x-1)(x-2) (x-100)1f(0)=(-1)(-2)(-100)=100!答案：C2.求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=()2;(3)y=x-sincos.解析：(1)方法一：y=(2x2+
7、3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.方法二：y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=()2=.y=x-()+4=1-4=1-2(3)y=x-sincos=x-sinx,y=x-(sinx)=1-cosx.3.求下列函数的导数：(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=;(3)y=;(4)y=(2x2+3)(3x-2);(5)y=sin2x.解析：(1)y=(x5-3x3-5x2+6)=(x5)-(3x3)-(5x2)+6=5x4-9x2-10x
8、(2)y=()+()=(2x-2)+(3x-3)=-4x-3-9x-4=(3)y=(4)方法一：y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9方法二：y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6y=18x2-8x+9(5)y=sin2x=2sinxcosxy=2(sinx)cosx+2sinx(cosx)=2cos2x-2sin2x=2cos2x4.求曲线y=在点(1,)处的切线方程.解析：y=,y=-1(3x2+1)=6x.k=y|x=1=.切线方程为(x-1), 即x-+1=0.5.求下列函数的导数(1)y=;
9、(2)y=sin4+cos4;(3)y=;(4)y=-sin.解析：(1)y=x2+x3+x4,y=2x+3x2+4x3.(2)y=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=cosx.y=(cos)=sinx(3)y=-2.y=(-2)=.(4)y=sincossinx.y=(sinx)=cosx.6.已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4.求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点.解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4.切点为(1，-4)，y=12x3-6x2-18x，切线斜率为k=12-6-18=-12.切线方程为y+4=-12(x-1)，即y=-12x+8.由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,x=1,-2,. 代入y=3x4-2x3-9x2+4，求得y=-4，32，0，即公共点为(1，-4)(切点)，(-2，32)，(，0).除切点外，还有两个交点(-2，32)、(,0).7.求曲线y=上一点P(4，)处的切线方程.解析：y1=,f(4)=. 所以所求切线的斜率为.所求切线方程为5x+16y+8=0.
