1、天津市南开中学2020届高三数学上学期统练试题（5）（含解析）一、选择题1.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2.设x、y、z为正数，且，则A. 2x3y5zB. 5z2x3yC. 3y5z2xD. 3y2x5z【答案】D【解析】令，则，则，则，故选D.点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜
2、色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，所以，故；同理，故.因为，故.故最低费用为.故选B.4.已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：为奇函数，则的两根为，所以，的极小值为又，存在，使综上，函数的零点个数为,故应选B考点：函数的零点和导数的有关知识的运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点解答本题时要充
3、分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得和，从而判定函数的零点在区间内从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用5.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.
4、所以，函数的最小值为.又，直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【详解】函数满足，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件
5、和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.若函数为奇函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用为奇函数，求出，由此求出该函数的定义域，不等式，即，由在区间s递减，可得的取值范围.【详解】由函数为奇函数，可得.即：，则，所以，得，解得.当时，函数的定义域为，定义域不
6、关于原点对称，不合乎题意；当时，由，解得，该函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，函数为奇函数.对于函数，内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.所以，函数在上单调递减，且，由得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有，则具体的排法列表如下：,0101
7、0011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果9.已知f(x)为偶函数，且在上为增函数，满足不等式的x取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为，即可得到结论.【详解】解：由题意：f(x)为偶函数，且在上为增函数，可得f(x) 在上为减函数，且，等价于，即，则，解得：或，故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.二
8、、填空题（共6小题：共30分）10.对于复数，若，则_【答案】【解析】，故答案为.11.在二项式的展开式中，的系数为_【答案】.【解析】【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【详解】结合二项式定理通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计
9、数原理讨论求解12.已知，则的值为_.【答案】6.【解析】【分析】令，可得为奇函数, ,且，可得的值.【详解】解：令，可得为奇函数，且，由，可得，可得，可得，由为奇函数，可得，故，故答案为：6.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.【详解】解：由，可得，设，当，函数单调递增，当，函数单调递增；，函数单调递减；由f(x)在处取得极大值，可得，当时，单调递增，当，单调递减；当，单调递增，所
10、以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，可得：在单调递增，所以当，当，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，在单调递增，在单调递减，所以当，单调递减，与题意不符；当，即可，当，函数单调递增；当，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出下列结论：已知函数是定义在上的奇函数，若，则；函数的单调递减区间是；已知函数是奇函数，当时，则当时，；若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_（请将所有正确结
11、论的序号填在横线上）【答案】【解析】正确，根据函数是奇函数，可得 ，而，所以 ；错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为； 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得 的解析式；，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.15.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从
12、研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题（共5小题：共65分）16.设的内角，的对边分别为，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：()运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；()将角用表示,换元法求函数值域即可.试题解析：()由及正弦定理，得，即，又为钝角，因此，故，即；()由（1）知，于是，因此，由此可知的取值范围是考点：正弦定理、三角变换，二次函数
13、有关知识和公式的应用.17.如图,是边长为的正方形，平面平面，,.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）由平面平面，可推出，再根据是正方形，可推出平面，从而可证平面；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）点在线段上，设，求出平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求出.试题解析：(1)证明：，. 又是正方形，平面. 又 . (2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系
14、如图所示，则， ，设平面的法向量为，,即，,则 . 直线与平面所成角的正弦值为. (3)解：点在线段上，设，则，设平面的法向量为，则,即，令则， ，整理得：解得：， 此时.18.设数列的前n项和为.已知.（）求的通项公式；（）若数列满足，求的前n项和.【答案】（）; （）.【解析】【分析】（）利用数列前项和与通项的关系求解；（）结合第（）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【详解】（）因为，所以，故当时，此时，即所以，（）因为，所以，当时，所以，当时，所以，两式相减，得所以，经检验，时也适合，综上可得：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的
15、关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递
16、增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.20.设函数xR，其中a,bR.（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）存极值点x0，
17、且f（x1）= f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=3；（）设a0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间0,2上的最大值不小于.【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（）由题意得，计算可得.再由及单调性可得结论；（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，可分三种情况研究：；.试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单
18、调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f （x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f （x）0或f （x）0的解集；（4）由f （x）0（f （x）0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f （x）0（或f （x）0）恒成立问题，要注意“”是否可以取到
