1、空间向量的数量积运算北师大版高中数学选修2-1第二章空间向量与立体几何法门高中姚连省制作1一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使2 推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.OABPa若P为A,B中点,则32.2.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量不共线不共线,则向量则向量与向量与向量共面的充要共面的充要条件
2、是存在实数对条件是存在实数对使使4 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有注意：空间四点P、M、A、B共面实数对5平面向量数量积的相关知识复习：AOBAB6平面向量的数量积7教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义OAB82）两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。93）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。104)空间向量的数量积性质注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（
3、模）的依据；对于非零向量 ，有：115)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律12二、课堂练习13三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证lg0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证lg0,只需l g=xlm+yln=0而lm0，ln0故lg014三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：lnmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线
4、g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l15例2：已知：在空间四边形OABC中,OABC，OBAC，求证：OCABABCO16巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP17例3 如图，已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ，如果 ，求、之间的距离。解：由 ，可知 .由 知 .18例4 已知在平行六面体 中，,求对角线 的长。解：191.已知线段、在平面 内，线段 ，如果 ，求、之间的距离.解：202.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于，点 分别是边 的中点。求证：。证明：因为所以同理，213.已知空间四边形 ，求证：。证明：224.如图，已知正方体 ，和 相交于点，连结，求证：。23已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于,点 分别是 的中点，求下列向量的数量积：作业讲评24ADFCBE25
