1、小题押题1612圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质卷 别年 份考题位置考查内容全国卷2017选择题第10题抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、焦点弦问题填空题第15题双曲线的几何性质2016选择题第10题抛物线与圆的综合问题2015选择题第5题双曲线简单性质的应用填空题第14题结合椭圆的性质求圆的标准方程卷 别年 份考题位置考查内容全国卷2017选择题第9题双曲线的离心率、点到直线的距离公式填空题第16题抛物线的标准方程、定义及几何性质2016选择题第11题双曲线的定义、离心率问题2015选择题第11题双曲线的几何性质全国卷2017选择题第5题,双曲线的标准方程、渐近线、椭圆的几何性质选择题
2、第10题直线与圆的位置关系、椭圆的几何性质2016选择题第11题直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率命题规律分析圆锥曲线的定义及标准方程是常考点，题目比较简单，圆锥曲线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点，其中涉及范围、最值等综合问题常在压轴小题中考查，难度较大考查点一 圆锥曲线的定义及标准方程1(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 52 x，且与椭圆x212y231 有公共焦点，则 C 的方程为()A.x28 y2101 B.x24 y251C.x25 y241 D.x24 y231解析：根据双曲线 C 的渐近线方程为 y 52 x，
3、可知ba 52.又椭圆x212y231 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以 a2b29.根据可知 a24，b25，所以 C 的方程为x24 y251.答案：B 2(2016全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：设抛物线的方程为 y22px(p0)，圆的方程为 x2y2r2.|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为 xp2，不妨设 A4p，2 2，Dp2，5.点 A4p，2 2，Dp2，5 在圆 x2y2r2 上，16p28r2，p
4、24 5r2，16p28p24 5，p4(负值舍去)C 的焦点到准线的距离为 4.答案：B3(2014全国卷)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2C4 D8解析：由题意知抛物线的准线方程为 x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得 x014|AF|54x0，解得 x01.答案：A 4(2017全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：法一：依题意，抛物线 C：y28x 的焦点 F(2,0)，因为 M 是 C
5、 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，M 为 FN的中点，设 M(a，b)(b0)，所以 a1，b2 2，所以 N(0,4 2)，|FN|4326.法二：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点 M 为 FN 的中点，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案：6考查点二 圆锥曲线的几何性质5(2017全国卷)若双曲线 C：x2a2y2b21(a0
6、，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为()A2 B.3C.2 D.2 33解析：依题意，双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 bxay0.因为直线 bxay0 被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，所以|2b|b2a2 41，所以 3a23b24b2，所以 3a2b2，所以 e1b2a2 132.答案：A 6(2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：x2a2 y2b21的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1 13，则E的离心率为()A 2 B32 C 3 D2解析：法一：作出示意图如图所示，离心率e
7、ca2c2a|F1F2|MF2|MF1|，由正弦定理得e|F1F2|MF2|MF1|sinF1MF2sinMF1F2sinMF2F12 23113 2.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|b2a.又sinMF2F1 13，所以|MF1|MF2|13，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|2b2a，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率eca 2.答案：A7(2015全国卷)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A 5 B2C 3D 2解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线
8、方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，点M的坐标为2a，3a.点M在双曲线上，4a2a2 3a2b2 1，ab，c 2a，eca 2.答案：D 考查点三 直线与圆锥曲线位置关系的简单应用8(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14C12 D10解析：抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y1k(x1)，由y2
9、4x，ykx1 消去y，得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k22 4k2，由抛物线的定义可知，|AB|x1x222 4k224 4k2.同理得|DE|44k2，|AB|DE|4 4k2 44k284 1k2k2 8816，当且仅当 1k2k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.答案：A9(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A13 B12 C23 D34解析：不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为xcyb1，即
10、bxcybc0.由题意知|bc|b2c2142b，解得ca12，即e12.答案：B10(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A3 34 B9 38 C6332 D94解析：易知抛物线中p32，焦点F34，0，直线AB的斜率k33，故直线AB的方程为y33 x34，代入抛物线方程y23x，整理得x2 212 x 9160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2212.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p212 3212，结合图象可得O到直线AB的距离dp2sin 3038，所以OAB的面积S12
11、|AB|d94.答案：D 11(2013全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By 33(x1)或y 33(x1)Cy 3(x1)或y 3(x1)Dy 22(x1)或y 22(x1)解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知|BB1|AA1|MB|MA|，即 m3m|MB|MB|4m，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，结合选项知选
12、C项答案：C 重点突破圆锥曲线性质的2个常考点考法(一)椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为eca1ba2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.典例(1)已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足 AP BP，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2)B(1,2C(1，2)D(1，2 解析 设P(x，y)，由题设条件得动点P的轨迹方程为(x1)(x1)(y2
13、)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆又双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的渐近线方程为ybax，即bxay0，因此由题意可得2aa2b21，即2ac 1，则eca1，故1eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A 22 B2 3C 52 D 6 3解析：设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|2m.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2m2m，即m(422)a，则|AF2|2a
14、m(22 2)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(22)2a24(21)2a2，即有c2(962)a2，即c(63)a，即eca 6 3.答案：D 2(2018届高三广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若 MF1 NF10，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(2，21)B(1，21)C(1，3)D(3，)解析：设F1(c,0)，F2(c,0)，依题意可得c2a2y2b21，得到yb2a，不妨设Mc，b2a，Nc，b2a，则 MF1 NF12c，b2
15、a 2c，b2a 4c2b4a20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32 2e232 2，又e1，所以1e232 2，解得1e1 2.答案：B考法(二)圆锥曲线中的最值问题典例(1)(2016四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A 33 B23C 22 D1解析 如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y202px0，即x0y202p.设M(x，y)，由 PM2 MF，得xx02p2x，yy020y，化简可得xpx03，yy03.直线
16、OM的斜率为ky03px03y0py202p2p2p2y0 y02p2 2p2 22(当且仅当y0 2p时取等号)，故直线OM的斜率的最大值为 22.答案 C(2)(2017南昌质检)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则|PA|PF|取最小值时，点P的坐标为_解析 将x3代入抛物线方程y22x，得y 6.62，A在抛物线内部如图，设抛物线上点P到准线l：x12的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d有最小值，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为 72，此时点P纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)答案(2,2)
17、解题方略圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求(3)利用基本不等式求最值 针对训练1(2017长春模拟)双曲线C的渐近线方程为y2 33 x，一个焦点为F(0，7)，点A(2，0)，点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A8 B10C43 7 D33 17解析：由已知得ab2 33，c 7，c2a2b2，解得a24，b23，c27，则双曲线C的方程为y24x23 1，设双曲线的另一个焦点为F，则|PF
18、|PF|4，PAF的周长为|PF|PA|AF|PF|4|PA|3，又点P在第一象限，则|PF|PA|的最小值为|AF|3，故PAF的周长的最小值为10.答案：B 2(2017南昌模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x242 33|AB|，则AFB的最大值为()A3B34 C56D23解析：由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x242 33|AB|，得|AF|BF|2 33|AB|，所以|AB|32(|AF|BF|)所以cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|AF|2|BF|232|AF|BF|22
19、|AF|BF|14|AF|214|BF|232|AF|BF|2|AF|BF|18|AF|BF|BF|AF|34182|AF|BF|BF|AF|3412，而0AFB，所以AFB的最大值为23.答案：D 失误防范警惕圆锥曲线中的3个易错点1忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.练1(2017西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线 x24y21有且仅有一个公共点，这样的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条解析：依题意，双曲线的渐近线方程是y 12 x，点P在直线y12x上当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，此时直线l与双曲
20、线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx12k，由ykx12k，x24y24，消去y得x24(kx12k)24，即(14k2)x28(12k)kx4(12k)240(*)若14k20，则k12，当k12时，方程(*)无实数解，因此k12不满足题意；当k12时，方程(*)有唯一实数解，因此k12满足题意若14k20，即k12，此时64k2(12k)216(14k2)(12k)210不成立，因此满足题意的实数k不存在综上所述，满足题意的直线l共有2条答案：B2忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.练2 已知圆
21、C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点连接MC1，MC2.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|312.所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M与 C2 的距离比与 C1 的距离大)，可设轨迹方程为x2a2y2b21(a0，b0，x0)，其中 a1，c3，则 b28.
22、故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x0)答案：x2y281(x0)3忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.练3 已知椭圆x24 y2m1的离心率等于 32，则m_.解析：当椭圆的焦点在 x 轴上时，则 a24，即 a2.又 eca 32，所以 c 3，mb2a2c24(3)21.当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程为y2mx24 1.则 b24，即 b2.又 eca 32，故1b2a2 32，解得ba12，即 a2b，所以 a4.故 ma216.综上，m1 或 16.答案：1或16 “课下练”见“课时跟踪检测（十二）”(单击进入电子文档)
