1、3向量的坐标表示和空间向量基本原理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理课时目标1.掌握空间向量的标准正交分解.2.了解空间向量基本定理1.标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的_i，j，k叫作标准正交基2标准正交分解设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得axiyjzk，则把axiyjzk叫作a的标准正交分解3向量的坐标表示在a的标准正交分解中三元有序实数_叫做空间向量a的坐标，_ _叫作向量a的坐标表示4向量坐标与投影(1)i，j，k为标准正交基，axiyjzk，那么：ai_，aj_，ak_.把x，
2、y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影(2)向量的坐标等于它在_上的投影(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称_为向量a在向量b上的投影5空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个_的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得_空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底一、选择题1在以下3个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1
3、C2D32已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a、b不能构成空间基底的是()A. B. C. D.或3以下四个命题中，正确的是()A若，则P、A、B三点共线B设向量a，b，c是空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底C|(ab)c|a|b|c|DABC是直角三角形的充要条件是04设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A(，) B(，)C(，) D(，)5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)
4、B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)6已知空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则等于()A.abc BabcC.abc D.abc题号123456答案二、填空题7设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_8已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则_.9已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，xyz，则xyz_.三、解答题10.四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E、F分别是PC和P
5、B的中点，用a，b，c表示、.11已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD，求、的坐标能力提升12甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1i2j3k，F22i3jk，F33i4j5k，则这三名工人的合力Fxiyjzk，求x、y、z.13已知e1，e2，e3是空间的一个基底，试问向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？并说明理由1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个
6、基底的某一个向量2对于xyz，当且仅当xyz1时，P、A、B、C四点共面3对于基底a，b，c除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.3向量的坐标表示和空间向量基本定理31空间向量的标准正交分解与坐标表示32空间向量基本定理知识梳理1单位向量3(x，y，z)a(x，y，z)4(1)xyz(2)坐标轴正方向(3)ab0|a|cosa，b5不共面a1e12e23e3作业设计1C命题，是真命题
7、，命题是假命题2C(ab)，与a、b共面，a，b，不能构成空间基底3BA中若，则P、A、B三点共线，故A错；B中，假设存在实数k1，k2，使cak1(ab)k2(bc)k1a(k1k2)bk2c，则有方程组无解，即向量ab，bc，ca不共面，故B正确C中，ab|a|b|cosa，b|a|b|，故C错D中，由0ABC是直角三角形，但ABC是直角三角形，可能角B等于90，则有0，故D错4A因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.5A设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)6B()
8、abc.7(3,2，1)，(2,4,2)83a3b5c解析，又，两式相加得2()()E为AC中点，故0，同理0，2(a2c)(5a6b8c)6a6b10c，3a3b5c.9.解析()故xyz，xyz.10解()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.11解PAADAB，且PA平面ABCD，ADAB，可设e1，e2，e3.以e1、e2、e3为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系()e2e3(e3e1e2)e1e3，e2(0,1,0)12解由题意，得FF1F2F3(i2j3k)(2i3jk)(3i4j5k)2ij7k.又因为Fxiyjzk，所以x2，y1，z7.13解由共面向量定理可知，关键是能否找到三个不全为零的实数x，y，z，使得xaybzc0，即x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0.亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30.由于e1，e2，e3不共面，故得求得z5x，代入得y7x，取x1，则y7，z5，于是a7b5c0，即a7b5c，所以a，b，c三向量共面
