1、8.2 空间几何体的表面积与体积-2-知识梳理考点自诊1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式所有侧面的面积之和2rl rl(r1+r2)l-3-知识梳理考点自诊3.柱、锥、台和球的表面积和体积Sh 4R2-4-知识梳理考点自诊1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.-5-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果圆柱
2、的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.()(3)若一个球的体积为,则它的表面积为12.()(4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9.()(5)将圆心角为 ,面积为3的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4.()-6-知识梳理考点自诊2.(2019湖北黄冈中学三模)已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为24+48,则r=()A.1B.2C.3D.4B-7-知识梳理考点自诊3.某几何体的三视
3、图如图所示,则该几何体的外接球的体积是()B 解析:根据几何体的三视图,该几何体是由一个正方体切去一角得到的.故该几何体的外接球为正方体的外接球,-8-知识梳理考点自诊4.(2019湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()B-9-知识梳理考点自诊5.(2019江苏,9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.10-10-知识梳理考点自诊解析:长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,ABBCCC1=120.E为CC1的中点,CC1底面ABCD,-11-考点1考点2考点3空间几何体的表面
4、积例1(1)(2019山西晋城二模,文8)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240B.264C.274D.282B-12-考点1考点2考点3(2)九章算术是我国古代数学名著,在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该“阳马”的表面积为()C-13-考点1考点2考点3解析:(1)解法一:由几何体的三视图得几何体的直观图如图所示,延长BE交DF于A点,其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,-14-考点1考点2考点3解法二:几何体是以俯视图为底面的五棱柱,
5、底面看作是边长为6的正方形与一个三角形组成,如图:则该几何体的表面积为:(10+6+6+3+5)6+266+34=264.故选B.-15-考点1考点2考点3(2)由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示.主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,且俯视图为正方形,所以四棱锥的底面是正方形,且边长为1,其中一条侧棱PD底面ABCD,且侧棱AD=1,四棱锥的四个侧面都为直角三角形,-16-考点1考点2考点3思考求几何体的表面积的关键是什么?解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及
6、数量关系,然后在直观图中求解.2.求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量.-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2019第三次全国大联考,8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()D-18-考点1考点2考点3(2)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是()A.16B.14C.12D.8A-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3空间几何体的体积例2(2019湖南六校联考,4)如图是一个几何体的三视图,且这个几何体的体积为8,则俯视图中三角形的高x等于()A.2B.3C.4D
7、.1C-21-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3思考由三视图求解几何体体积的一般思路是什么?解题心得1.求由三视图给出的几何体的体积,一般思路是根据三视图画出几何体的直观图,从三视图中找到构成几何体的元素间的位置关系及数量关系,然后求其体积.2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.-23-考点1考点2考点3对点训练2(2019山东日照三校一月联考,7)一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图是边长为2的正三角形,则该几何体的体积为()B-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3与球有关的切、接问题(多考向)考
8、向1棱柱的外接球问题例3(2019陕西宝鸡中学模拟,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,BAC=60,则此球的表面积等于.8-26-考点1考点2考点3思考如何确定三棱柱外接球的半径?解题心得求棱柱外接球的半径,常利用球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r的关系式R2=r2+d2,这里棱柱的底面看作球的截面.-27-考点1考点2考点3对点训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积为.-28-考点1考点2考点3考向2棱锥的
9、外接球问题(多方法)方法1补形法求球的半径例4(1)(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()(2)(2019福建漳州质检二,15)已知正四面体A-BCD的外接球的体积为8 ,则这个四面体的表面积为.D-29-考点1考点2考点3-30-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3(2)将正四面体ABCD放在一个正方体内,设正方体的棱长为a,如下图所示,-32-考点1考点2考点3思考若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,怎样求其外接球的半径?解题心得一般地,若一个三
10、棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有-33-考点1考点2考点3对点训练4(1)(2019山东德州一模,8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()C-34-考点1考点2考点3(2)(2019山东实验等四校联考,6)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是()B-35-考点1考点2考点3解析:(1)该几何体为三棱锥,补形为长方体,其外接球的直径为将三棱锥补形为三棱柱,则三棱锥与三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱与球都是中心和轴对称图形,所
11、以球心为三棱柱两底面中心连线的中点,设ABC的外心为O1,设球心为O,连接OC,O1C,则-36-考点1考点2考点3方法2体积法求球的半径例5正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少?解:如图所示,设点O是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.-37-考点1考点2考点3思考几何体的内切球和外接球的球心与几何体有怎样的关系?解题心得正四面体的内切球及外接球的半径及其求法1.内切球的半径是根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内
12、切球半径.2.外接球的半径是根据外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后,再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可.3.内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.-38-考点1考点2考点3对点训练5(2019山师附中考前模拟,14)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60,三棱锥的内切球的表面积为.-39-考点1考点2考点3方法3确定球心位置例6(1)(2019陕西咸阳一模,10)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=90,AB平面BCD,则球O的表面积为(
13、)A.6B.5C.4D.3(2)(2019湖南六校联考,16)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于.A-40-考点1考点2考点3解析:(1)由于AB平面BCD,故ABBD,ABCD,而CDBC,故CD平面ABC,所以CDAC,所以三角形ABD和三角形ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有OA=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面积为AD2=6,故选A.-41-考点1考点2考点3(2)找球心是本题的难点,由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,因SA
14、B是一个锐角三角形,其外接圆的圆心在三角形内,设为O1,长方形ABCD的外接圆的圆心为其对角线的中点O2,设四棱锥外接球的球心为O,则OO1面SAB,OO2面ABCD,则OB为球的半径R.设r1为SAB外接圆半径,r2为矩形ABCD外接圆半径,L=AB,则r1=O1B,r2=O2B,-42-考点1考点2考点3-43-考点1考点2考点3思考如何确定棱锥外接球的球心?解题心得球是中心对称图形和轴对称图形,球心与任意一个截面圆的圆心的连线垂直截面圆,经常由此性质来确实球的球心位置.-44-考点1考点2考点3对点训练6(1)(2019河北唐山一模,15)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=,且A
15、DCD,该四面体外接球的表面积为.(2)(2019江西重点中学联考一,16)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,SD平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ABCD且满足AB=2AD=2DC=2,SC=,则球O的表面积是.25-45-考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,由AB=BC=1,AC=,得ABBC,所以ABC为直角三角形.AC的中点到点A,B,C的距离相等且为AC长的一半,又ADCD,DAC也是直角三角形,AC的中点到点D的距离也是AC长的一半,所以AC的中点到四面体各顶点的距离都相等,所以其外接球的球心即为AC的中点.-46-考点1考点2考点3-47-考点1考点2考点
16、3-48-考点1考点2考点31.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.-49-考点1考点2考点31.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误.3.易混侧面积与表面积的概念.-50-例1(2019河北衡水中学四调,10)如图所示,某几何体由底面半
17、径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为()-51-答案:B小圆柱体积V=(5cos)2(5+5sin),设sin=t,t(0,1),则V=125(-t3-t2+t+1),-52-例2(2019山东德州一模,12)在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是()答案:A-53-54-例3(2017全国1,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.-55-56-点评求几何体体积最值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最值.
