1、第1讲直线与圆一、填空题1(2015广东卷改编)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_解析设所求切线方程为2xyc0，依题有，解得c5，所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50.答案2xy502(2015北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是_解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)223(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案4已知圆的方程为x2y26x8y0
2、，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是_解析配方可得(x3)2(y4)225，其圆心为(3，4)，半径为r5，则过点(3，5)的最长弦AC2r10，最短弦BD24，且有ACBD，则四边形ABCD的面积为SACBD20.答案205若圆x2y24与圆x2y22ax60(a0)的公共弦的长为2，则a_解析x2y22ax60(a0)可知圆心为(a，0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2y22ax6)(x2y2)4，即x，所以有，解得a1或1(舍去)答案16(2012江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一
3、点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析圆C的标准方程为(x4)2y21，设圆心C(4，0)到直线ykx2的距离为d，则d，由题意知问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.答案7(2014新课标全国卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0，1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当
4、OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1，1答案1，18直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为_解析根据题意画出图形，如图所示，过点O作OCAB于C，因为AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OAOB1，根据勾股定理得AB，OCAB.圆心到直线的距离为，即2a2b22，即a2b210.b.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d.设f(b)b22b2(b2)2，此函数为对称轴为x2的开口向上的抛物线，当b2时，函数为减函数f()32，d的最小值为
5、1.答案1二、解答题9(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意可得y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.10.已知双曲线x21.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2，3)，求椭圆方程(2)设(1)中椭圆的
6、左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AMMN，求AMB的余弦值；(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0，9)时，求这个圆的方程解(1)双曲线焦点为(2，0)，设椭圆方程为1(ab0)则a216，b212.故椭圆方程为1.(2)由已知，A(4，0)，B(4，0)，F(2，0)，直线l的方程为x8.设N(8，t)(t0)AMMN，M.由点M在椭圆上，得t6.故所求的点M的坐标为M(2，3)所以(6，3)，(2，3)，1293.cosAMB.(3)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E
7、24F0)，将A、F、N三点坐标代入，得得圆的方程为x2y22xy80，令x0，得y2y80.设P(0，y1)，Q(0，y2)，则y1，2.由线段PQ的中点为(0，9)，得y1y218，t18，此时，所求圆的方程为x2y22x18y80.11.如图所示，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3)是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由解(1)设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.MN2，AQ1.由AQ1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，0，().当直线l与x轴垂直时，得P.则，又(1，2)，5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.5.综上所述，是定值，且5.
