1、2019-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测卷一、选择题1.如果关于x的方程（m3） x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ） A.3B.3C.3D.都不对2.如果关于x的一元二次方程k2x2（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A.k B.k 且k0C.k D.k 且k03.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2 ， 求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A.（x+1）（x+2）=18B.x23x
2、+16=0C.（x1）（x2）=18D.x2+3x+16=04.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到ABC，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2 ， 则它移动的距离AA等于（）A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm5.等腰三角形的底和腰是方程x27x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是 （ ） A.11 B.10 C.11或10 D.不能确定6.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），此方程可变形为 （ ） A.（x+ ）2= B.（x+ ）2= C.（x ）2= D.（x ）2= 7.关于x的一元二次方程x2+2（
3、m1）x+m2=0的两个实数根分别为x1 ， x2 ， 且x1+x20，x1x20，则m的取值范围是 （ ） A.m B.m 且m0C.m1D.m1且m08.已知实数m，n满足mn2=1，则代数式m2+2n2+4m1的最小值等于 （ ） A.12 B.1 C.4 D.无法确定9.欧几里得的原本记载，形如x2ax=b2的方程的图解法是；画RtABC，使ACB=90，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长10.若a满足不等式组 ，则关于x的方程（a2）x2（2a1）x+a+ =0的根的情况是（ ） A.有两个
4、不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上三种情况都有可能二、填空题11.关于x的一元二次方程（a1）x2+x+（a21）=0的一个根是0，则a的值是_ 12.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是_%。 13.已知，是方程x23x4=0的两个实数根，则2+3的值为_ 14.若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，则 =_. 15.已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式 的值为_ 16.如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式
5、 =_ 17.如果（2x+2y+1）（2x+2y1）=63，那么x+y的值是 _ 三、解答题18.已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？ 19.先化简，再求值： ，其中a满足 . 20.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1 ， x2 ， 当k=1时，求x12+x22的值 21.某商场2019年7月份的营业额为160万元，9月份的营业额达到250万元，7月份到9月份的月平均增长率相等. （1）求7月份到9月份的月平均增长率？ （2）按照此增长速率，10月
6、份的营业额预计达到多少？ 22.已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1 ， x2 （1）求m的取值范围； （2）若x20，且 1，求整数m的值 23.根据衢州市局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2019年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示请根据图中信息，解答下列问题： （1）求2019年第一产业生产总值（精确到1亿元） （2）2019年比2019年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%） （3）若要使2019年的国民生产总值达到1573亿元，求2019年至2019年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1
7、%） 24.已知在关于x的分式方程 和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n均为实数，方程的根为非负数 （1）求k的取值范围； （2）当方程有两个整数根x1、x2 ， k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程的整数根； （3）当方程有两个实数根x1、x2 ， 满足x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2是否成立？请说明理由 25.如图，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=8厘米点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）（
8、1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于是ABC的三分之一？ （2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？ （3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t值，若不存在说明理由 答案解析部分一、选择题 1.【答案】C 【考点】一元二次方程的定义及相关的量 【解
9、析】【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ， 解得m=3故选C【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数据此即可得到m27=2，m30，即可求得m的范围2.【答案】B 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：由题意知，k0，方程有两个不相等的实数根， 所以0，=b24ac=（2k+1）24k2=4k+10又方程是一元二次方程，k0，k 且k0故选B【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b24ac0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围3.【答案】C
10、【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x1）（x2）=18，故选C【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x1）m，宽为（x2）m根据长方形的面积公式方程可列出4.【答案】B 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设AC交AB于H，A=45，D=90AHA是等腰直角三角形设AA=x，则阴影部分的底长为x，高AD=2xx（2x）=1x=1即AA=1cm故选B【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，AAH与HCB都是等腰直角三角形，则若设AA=x，则阴影部分的底长为x，高AD=2x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解
11、5.【答案】C 【考点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：方程分解得：（x3）（x4）=0，解得：x1=3，x2=4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10故答案为：C【分析】先利用因式分解法求出原方程的根，再根据三角形三边关系定理得出三角形的三边长，就可求出此三角形的周长。6.【答案】A 【考点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=c，x2+ x= ，x2+ x+（ ）2= +（ ）2 ， （x+ ）2= ，故答案为：A【分析】根据一元二次方程的配
12、方法解方程，即可解答。7.【答案】B 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：=2（m1）24m2=8m+40，m ，x1+x2=2（m1）0，x1x2=m20m1，m0m 且m0故答案为：B【分析】根据已知方程有两个实数根，可得出b2-4ac0及x1+x20，x1x20，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m取值范围。8.【答案】C 【考点】偶次幂的非负性，配方法的应用 【解析】【解答】解：mn2=1，n2=m1，m1，m2+2n2+4m1=m2+2m2+4m1=m2+6m3=（m+3）212，（m+3）216，（m+3）2124故答案为：C【
13、分析】将mn2=1转化为n2=m1，可得出m的取值范围，再将m2+2n2+4m1转化为（m+3）212，然后根据m1，可得出答案。9.【答案】B 【考点】一元二次方程的根，勾股定理 【解析】【解答】解：在RtABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 因为AC=b，BD=BC=，所以b2+=，整理可得AD2+aAD=b2 ， 与方程x2ax=b2相同，因为AD的长度是正数，所以AD是x2ax=b2的一个正根故答案为B。【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 代入b和a即可得到答案10.【答案】C 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【
14、解析】【解答】解：解不等式组 得a3，=（2a1）24（a2）（a+ ）=2a+5，a3，=2a+50，方程（a2）x2（2a1）x+a+ =0没有实数根，故答案为：C【分析】由题意解不等式组可得a的范围，再根据一元二次方程的根的判别式的值即可判断。二、填空题 11.【答案】-1 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（a1）x2+x+（a21）=0的一个根是0， x=0满足该方程，且a10a21=0，且a1解得a=1故答案是：1【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值注意，二次项系数a1012.【答案】10% 【考点】一元二次方程的
15、实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2 ， 由题意，得7000（1-x）2=5670，（1-x）2=0.81，x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）故答案为：10%【分析】此题的等量关系：去年10月份的商品房成交均价（1-降价率）2=去年12月份的商品房成交均价，设未知数。列方程求解即可。13.【答案】0 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：，是方程x23x4=0的两个实数根原式=0【分析
16、】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将原式转化为，然后代入求值。14.【答案】4 【考点】直接开平方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x2=（ab0），x= ，方程的两个根互为相反数，m+1+2m4=0，解得m=1，一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是2与24a=b =4.【分析】根据若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，可得出m+1+2m4=0，求出m的值，就可得出4a=b，即可解答。15.【答案】2020 【考点】配方法的应用，非负数之和为0 【解析】【解答】解：x2+y2-2x-4y+5=0，x2-2x+1+y2-4y+4=0，（x-1）2
17、+（y-2）2=0，x=1，y=2， =2- =1.5；故答案为：1.5【分析】将方程的左边配方转化为（x-1）2+（y-2）2=0，再根据非负数和的性质求出x、y的值，然后代入分式计算即可。16.【答案】2026 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m 2 m = 3 ， n 2 n = 3 ，则 、 是关于 的一元二次方程 的两根， ， ， 21-（-3）+2021=2026【分析】根据题意可得出 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+
18、3，分别代入可解答。17.【答案】4或4 【考点】换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解：设2x+2y=t，则由原方程，得（t+1）（t1）=63，即t2=64，直接开平方，得t=8或t=8当t=8时，2x+2y=8，则x+y=4当t=8时，2x+2y=8，则x+y=4综上所述，x+y的值是4或4故答案是：4或4【分析】将2x+2y看着整体，设2x+2y=t，将原方程转化为（t+1）（t1）=63，求出t的值，代入就可求出x+y的值。三、解答题 18.【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，a、b、c为三角形的三条边，a+bc，即a+b-c0， +b
19、x（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程 【考点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。19.【答案】解：原式=a满足a2+2a24=0，a=4（舍）或a=6，当a=6时代入求值，原式= 【考点】利用分式运算化简求值，因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足 a 2 + 2 a 24 = 0 .解方程求出符合条件的a的值，再将符合条件的a的值代入计算可解答。20.【答案】（1）解：方
20、程有两个不相等的实数根，=（2k+1）24k2=4k+10，解得：k （2）解：当k=1时，方程为x2+3x+1=0，x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=92=7 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）抓住已知条件原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac0，建立关于k的不等式，求解可解答。（2）将k=1代入方程，可得出x2+3x+1=0，就可求出x1+x2 ， x1x2的值，再将x12+x22配方转化为（x1+x2）22x1x2 ， 然后代入求值。21.【答案】（1）解：设月平均增长率为x，依题意得
21、：解得： =25%， （舍去）答：7月份到9月份的月平均增长率为25%（2）解：250（1+ ）=312.5万元答：2019年10月份的营业额预计312.5万元 【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）等量关系为：9月份的营业额=7月份的营业额（1+月平均增长率）2 ， 设未知数，列方程求解即可。（2）10月份的营业额=9月份的营业额（1+月平均增长率），计算可求解。22.【答案】（1）解：由已知得：m0且=（m+2）28m=（m2）20，则m的范围为m0且m2（2）解：方程解得：x= ，即x=1或x= ，x20，x2= 0，即m0， 1， 1，即m2，m0且m2，2
22、m0，m为整数，m=1 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【分析】（1）根据已知方程式一元二次方程，可得出m0，再由此方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac0，就可求出m的取值范围。（2）先解方程求出方程的两个解，再根据x20及-1，得出m的取值范围，就可求出整数m的值。23.【答案】（1）解：13007.1%92（亿元）答：2019年第一产业生产总值大约是92亿元（2）解：（13001204）1204100%=961204100%8%答：2019年比2019年的国民生产总值大约增加了8%（3）解：设2019年至2019年我市国民生产总值的年平均增长率为x，依题意得1300（
23、1+x）2=1573，1+x=1.1，x=10%或x=2.1（不符合题意，故舍去）答：2019年至2019年我市国民生产总值的年平均增长率约为10% 【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）观察条形统计图和扇形统计图，可知2019年第一产业生产总值=2019年的国民生产总值第一产业所占的百分比，计算可解答。（2）利用2019年比2019年的国民生产总值之差2019年的国民生产总值100，计算可解答。（3）此题的等量关系：2019年的国民生产总值=2019年的国民生产总值（1+年平均增长率）2 ， 设未知数，列方程求解即可。24.【答案】（1）解：关于x的分式方程 的根
24、为非负数，x0且x1，又x= 0，且 1，解得k1且k1，又一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中2k0，k2，综上可得：k1且k1且k2（2）解：一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0有两个整数根x1、x2 ， 且k=m+2，n=1时，把k=m+2，n=1代入原方程得：mx2+3mx+（1m）=0，即：mx23mx+m1=0，0，即=（3m）24m（m1），且m0，=9m24m（m1）=m（5m+4）0，则m0或m ；x1、x2是整数，k、m都是整数，x1+x2=3，x1x2= =1 ，1 为整数，m=1或1，由（1）知k1，则m+21，m1把m=1代入方程mx23mx
25、+m1=0得：x23x+11=0，x23x=0，x（x3）=0，x1=0，x2=3；（3）解：|m|2成立，理由是：由（1）知：k1且k1且k2，k是负整数，k=1，（2k）x2+3mx+（3k）n=0且方程有两个实数根x1、x2 ， x1+x2= = =m，x1x2= = n，x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2 ， x12+x22x1x2+k2 ， （x1+x2）22x1x2x1x2=k2 ， （x1+x2）23x1x2=k2 ， （m）23 n=（1）2 ， m24n=1，n= ，=（3m）24（2k）（3k）n=9
26、m248n0，把代入得：9m248 0，m24，则|m|2，|m|2成立 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【分析】（1）先求出分式方程的解，再由再由此方程的根为非负数及x1，求出k的取值范围；再由方程是一元二次方程，可得出2k0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。（2）先把k=m+2，n=1代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得.0,得出m0或m,符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已
27、知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。25.【答案】（1）解：设经过t秒钟，PBQ的面积等于是ABC的三分之一，由题意得：AP=t，BP=6t，BQ=2t， 2t（6t）= 68，解得：t=2或4，0t4，t=2或4符合题意，答：经过2或4秒钟，PBQ的面积等于是ABC的三分之一（2）解：在RtPQB中，PQ2=BQ2+PB2 ， 62=（2t）2+（6t）2 ， 解得：t1=0（舍），t2= ，答： 秒钟后，P、Q相距6厘米（3）解：由题意得：PB=6t，BQ=82t，分两种情况： 当PQ平分ABC面积时，SPBQ= SABC ， （6t）（82t
28、）= 86，解得：t1=5+ ，t2=5 ，Q从C到B，一共需要82=4秒，5+ 4，t1=5+ 不符合题意，舍去，当t2=5 时，AP=5 ，BP=6（5 ）=1+ ，BQ=82（5 ）=2 2，CQ=2（5 ）=102 ，PQ将ABC的周长分为两部分：一部分为：AC+AP+CQ=10+5 +102 =253 ，另一部分：PB+BQ=1+ +2 2=3 1，253 3 1，当PQ平分ABC周长时，AP+AC+CQ=PB+BQ，10+2t+t=6t+82t，t= ，当t= 时，PB=6 = ，BQ=82 = ，SPBQ= = 12，综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分ABC的周长与面积
29、【考点】几何图形的动态问题，一元二次方程的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）抓住已知条件：点P从A点出发向点B运动，先Q从点B向点C运动，设经过t秒钟，PBQ的面积等于是ABC的三分之一，就可得出AP、BP、BQ的长，再利用PBQ的面积=ABC的面积，建立关于t的方程，解方程求出t的值，然后根据0t4，可解答。（2）根据题意在RtPQB中，利用勾股定理可得出PQ2=BQ2+PB2=36，建立方程求解即可。（3）根据题意表示出PB、BQ的长，分两种情况讨论： 当PQ平分ABC面积时，由SPBQ= SABC ， 建立方程求出符合题意t的值，再根据t的值就可得出AP、BP、BQ、CQ的长；然后由PQ将ABC的周长分为两部分，分别求出AC+AP+CQ和PB+BQ的值，判断它们是否相等；当PQ平分ABC周长时，即AP+AC+CQ=PB+BQ，建立关于t的方程，求出t的值，就可得出PB、BQ的长，再求出PBQ的面积，然后判断PBQ的面积是否等于12，即可得出答案。
