1、赤峰二中2016级高三年级第三次月考数学试题（理科）第卷（共60分）一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，B=，则( )A. B. C. D. 2.若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（ ）A. 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.24.中国古代
2、数学著作九章算术中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（ ）A. 35 B. 65 C. 70 D. 605.已知实数满足，则的最大值为（ ）A. B. C.2 D.46.若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ）A. B. C. D. 7.函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D. 8.如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的
3、值为（ ）A. B.0 C. D. 10.已知中，P为线段AC上任意一点，则的范围是（ ）A. 1，4 B. 0,4 C. 2,4 D. 11.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，的关系为（ ）A. B. C. D. 12.已知定义在上的函数满足，当时， ，其中，若方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 第卷（共90分）二、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为_14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长边长是 15.抛物线
4、 （ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为_16.已知数列满足：，记为的前项和，则_三、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.己知分别为三个内角A，B，C的对边，且（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，且的面积为，求a的值18.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友(女20人，男20人)，统计其在某一天的走路步数，其中，
5、女性好友的走路步数数据记录如下：5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：(说明：“”表示大于等于0，小于等于2000，下同)，且，三种类别人数比例为，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在500
6、110000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“类型”与“性别”有关？卫健型进步型总计男20女20总计40（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，再从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为，女性好友中按比例选取5人，再从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为，求事件“”的概率.附：，19.如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将, 分别沿折起，使两点重合于点,如图2. (1)求证: 平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值20.已知椭圆：（）的短轴长为2，且椭圆的顶点在圆：上.（）求椭圆的方程；（
7、）过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦、，求的最小值.21.已知函数(e为自然对数的底数)（1）若的单调性；（2）若，函数内存在零点，求实数a的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23.已知定义在上的函数 ，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.赤峰二中2016级高三年级第三次月考数学试题（理科）参考答案1.A 2
8、.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D 11.C 12.B13.20 14. 15.1 16.44017.（）由正弦定理得，即，（）由：可得，由余弦定理得：，.18.(1)在样本数据中，男性好友类别设为人，则由题意可知，可知，故类别有2人，类别有6人，类别有8人，走路步数在500110000步的包括，两类别共计9人；女性好友走路步数在500110001步共有16人.用样本数据估计所有微信好友每日走路频数的概率分布，则：人.(2)根据题意选取的40个样本数据的列联表为：卫健型进步型总计男14620女81220总计221840得：，故没有95%以上的把握认为“认定类
9、型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为，则选取10人，恰好选取“卫健型”7人，“进步型”3人；在女性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为，选取5人，恰好选取“卫健型”2人，“进步型”3人；“”包含“，”，“，”，“，”，“，”，,，故.19.（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知, , , ,即由题意知，在图2中，,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）解：由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，, ,从而,.设平面的一个法向量为，则，令，则，.设直线与平面所成角为,则, .直线与平面所成角的正弦值为20.（）由题
10、意可得，所以.椭圆的顶点在圆：上，所以.故椭圆的方程为.（）当直线的斜率不存在或为零时，.当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，由得，设，由根与系数的关系，得，所以，同理可得，所以 .令，则， ，而，所以 ，综上， ，故的最小值为.21. （I）定义域为故则(1)若，则在上单调递减；(2)若，令.当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；当时，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.综上，(1)当时，在上单调递减；(2)当时，在上单调递减，在单调递增（）设,，设，则(1)若,在单调递减，故此时函数无零点，不合题意.(2)若,当时，由（1）知对任意恒成立，故，对任意恒成立，当时,，
11、因此当时必有零点，记第一个零点为，当时，单调递增，.由可知，当时，必存在零点.(2)当，考察函数，由于在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，故在上为减函数，又，所以当时，从而在上单调递减，故当时恒有.即，令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.综上可知，的取值范围是.22.(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，故点到直线的距离的最大值为.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方， ，恒成立，即（其中）恒成立，又，解得，故取值范围为.23.（1）,要使恒成立，则，解得.又 ，.（2），即，当且仅当，即时取等号，故.
