1、概 率、统 计 1、(理科)一位学生每天骑车上学，从他家到学校共由5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为P。其余3个交通岗遇红灯的概率为1/2（1）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率。（2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18，求P解：（1）记该学生在第个交通岗遇到红灯事件为他们相互独立，则这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为P（）这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为1/12。（2）过首末两个路口，共中间三个路口分别看作独立重复试验，A该学生没遇到红灯 B该学生恰好遇到一次红灯，则A与B互斥故又，所以P的取值范围为.2(理科
2、) 某班有学生45人,其中O型血的人有10人,A 型血的人有12人, B型血的人有8人,AB 型血的人有15人,现抽取两人进行检验,(1) 求这两人血型相同的溉率;(2) 求这两人血型相同的分布列.解(1)记两人血型同为O,A,B,AB型的概率分别为P1,P2,P3,P4,则 故两人血型相同的概率为(2)将两人血型同为O,A,B,AB型编号为1,2,3,4, 记两人血型相同为X,则 X的可能取值为1,2,3,4,其分布列为:X1234P45/24433/1227/61105/2443(理科)甲、乙两个同学解数学题，他们答对的概率分别是0.5与0.8，如果每人都解两道题，（）求甲两题都解对，且乙
3、至少解对一题的概率； （）若解对一题得10分，未解对得0分、求甲、乙得分相等的概率.解（）（）两人都得零分的概率为 两人都得10分的概率为 两人都得20分的概率为 4（2006年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（A）1（B）2（C）3（D）4解析: 由平均数公式为10，得则；又由于方差为2，则得，所以有，故选（D）5（2006山东）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
4、（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.所以随机变量的概率分布为23451/302/153/108/15因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则6 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次
5、试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.剖析：要求D、的最大值，需求D、E关于p的函数式，故需先求的分布列.解：随机变量的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，从而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.（1）D=pp2=（p）2+，0p1，当p=时，D取得最大值为.（2）=2（2p+），0p1，2p+2.当且仅当2p=，即p=时，取得最大值22.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.7：8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过.证明：设事件在一次试验中发生的次数为，的可能取值为0或1，又设事
6、件在一次试验中发生的概率为p，则P（=0）=1p，P（=1）=p，E=0（1p）+1p=p，D=（1p）（0p）2+p（1p）2=p（1p）（）2=.所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过.9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.解：设为巧合数，则P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=0，P（=4）=，所以E=0+1+2+30+4=1.所以巧合数的期望为1.10 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D.101P1/212qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D.解：因为随机
7、变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以 解得q=1.于是，的分布列为101P1/213/2所以E=（1）+0（1）+1（）=1，D=1（1）2+（1）2（1）+1（1）2（）=1.评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E=（1）+0（12q）+1q2=q2.4对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命（h）100200200300300400400500500600个 数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估计电子元件寿命在100400 h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在40
8、0 h以上的概率.剖析：通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.解：（1）频率分布表如下：寿命（h）频 数频 率累积频率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合 计2001（2）频率分布直方图如下：（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100400 h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100400 h内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.评述：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.
