1、高邮市2021-2022学年高二上学期期中学情调研 数学试卷 2021.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 2. 平行直线与之间的距离为（ ）A. B. C. D. 3. 数列为等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5. 已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 若三个数成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 7. 曲线围成的图形的面积为
2、（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的有（ ）个 过双曲线右焦点的直线被双曲线所截线段长的最小值为方程表示的曲线是双曲线若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线若椭圆的离心率为，则实数A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D. 过两点的直线方程为10. 长度为的线
3、段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（ ）A. 点在曲线内 B. 直线与曲线没有公共点C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上 D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为11. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 当时， D. 12. 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（ ）A. 若直线与准线交于点，则B. 对任意的直线，C. 的最小值为 D. 以为直径的圆与轴公共点个数为偶数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设直线. 若，则 .
4、14. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后， 反射光线经过椭圆的另一个焦点. 根据椭圆的光学性质解决下题：现有一 个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点.当静止的小球从点开始出发，沿角直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点时，小球经过的路程为 .15. 已知圆，直线，为直线上一点. 若圆上存在两 点，使得，则点的横坐标取值范围为 .16. 已知椭圆，过椭圆的上顶点作一条与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于另一点，关于轴的对称点为. 若直线， 与轴交点的横坐标分别为，. 则它们的积为 .四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤
5、.17.（10分）（1）求以椭圆的长轴端点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程；（2）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，求抛物线的方程.18.（12分）如图所示，正方形的顶点. （1）求边所在直线的方程；（2）求出点的坐标，并写出边所在直线的方程.19. （12分）在； ；. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式； （2）求的最大值.20.（12分）已知圆.（1）过点向圆引切线，求切线的方程；（2）记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.21.（12分）已知双曲线
6、.（1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.22.（12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求的离心率；（2）过的直线与相交于，两点.当为常数时. 若成等差数列，且公差不为，求直线的方程；当时. 延长与相交于另一个点，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.高邮市20212022学年高二上学期期中学情调研 数学试卷（参考答案） 2021.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A 2. B 3. B 4.
7、 C 5. D 6. C 7. A 8. A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9. AD 10. ABC 11. BCD 12. ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 14. 15. 16. 四、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。17. 解：（1）椭圆的长轴端点为，焦点为，设所求双曲线方程为，则，所以所以所求双曲线方程为； .5分（2）由抛物线定义知，所以所以抛物线的方程为 .10分18. 解：（1）因为，所以.又，所以，所以边所在直线的方程为，即 .4
8、分（2）设，由已知得，解得：，即， .8分因为，所以，所以边所在直线的方程为，即 .12分19. 解：（1）若选择条件：因为所以，两式相减得，即，又，即，所以，又，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列 .4分所以 .6分若选择条件：由，得，即，所以数列是等差数列，公差为，又因为， .4分所以数列的通项公式为 .6分若选择条件：由，变形为，在原式中令得，又，所以，所以，所以数列是等差数列，首项为6，公差为-2.所以，所以， .4分所以当时，符合上式，所以数列的通项公式为 .6分（2）法1：因为，所以当时，取最大值为12 .12分法2：由知时，所以当时，取最大值为12 .12分20. 解：（
9、1）若斜率不存在，则方程为，符合； .2分若斜率存在，设方程为，即，由得，切线方程为即综上，切线方程为 .5分（2），设，由得化简得：，即所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， .8分因为圆心距，所以两圆有两个公共点， .10分由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，公共弦长为 .12分21.解：由题意得直线的斜率必存在，设，联立，得若，即时，满足题意； .1分若，即时，令，解之得； .3分综上，的斜率为（2）证明：设，联立，得，则： .4分以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，即，.5分由韦达定理知，.6分，整理得， 解得或（均满足）.10分当时，直线：，此时，直线过点，不满足题意，故舍去； .11分当时，直线：，此时，直线恒过点，满足题意. .12分所以原题得证，即直线过定点.22.解：（1）由题意得， 因为，故， 即.2分（2） 成等差数列，且公差不为，直线斜率存在，且又，； .3分设直线方程为，联立，得，则 .4分，解之得 故直线方程为，.6分（3） 直线与椭圆的位置关系是：相切.7分理由如下：设，则，令联立，得，由韦达定理可知，并注意到，得， 即， .9分故， 得 同理得. .10分此时， .11分直线的方程为，整理得联立，得，注意到，故此时，. .12分
