1、解答题分层综合练(三)中档解答题规范练(3)(建议用时：60分钟)1ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD， PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长3(2015长春调研)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男
2、30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)下面临界值表仅供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250
3、.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K24.在边长为3的正ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，且满足AECFCP1(如图1)将AEF沿EF折起到A1EF的位置，连接A1B、A1P(如图2)，使平面A1EP平面BPE.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小5已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关(2
4、)设甲、乙解答同一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件A为“乙比甲先解答完此题”，则满足的区域为xy，所以由几何概型的概率计算公式得P(A)，即乙比甲先解答完的概率为.(3)X的可能取值为0，1，2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有C28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有C15种；恰有一人被抽到有CC12种；2人都被抽到有C1种，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为：X012P所以E(X)012.4解：(1)证明：在题图1中，取BE的中点D，连接DF.因为AECF1，所以AFAD2，而A60，所以ADF是正三角
5、形，又AEDE1，所以EFAD.在题图2中，A1EEF，BEEF，所以A1EB为二面角A1EFB的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE，所以A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(2)建立分别以EB、EF、EA1为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，0)，P(1，0)，则(0，0，1)，(2，0，1)，(1，0)设平面A1BP的法向量为n(x，y，z)，由n平面A1BP知，n，n，即令x，得y1，z2，则n(，1，2)，cos，n，n150，所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60.5解：(1)令xn，y1，得f(n
6、1)f(n)f(1)f(n)，所以f(n)是首项为，公比为的等比数列，所以f(n).(2)证明：设Tn为an的前n项和，因为annf(n)n，所以Tn23n，Tn23(n1)n，两式相减得Tnn，所以Tn2n2.即证a1a2a3an0；当n9时，bn0；当n9时，bn0.所以当n8或9时，Sn取得最大值6解：(1)由题意可设椭圆C的方程为1(ab0)，F(c，0)由题意知解得b.故椭圆C的标准方程为1.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可知，c1，F(1，0)，直线AP的方程为yx2，则点D的坐标为(2，4)，BD中点E的坐标为(2，2)，圆的半径r2.由得7x216x40.设点P的坐标为(x0，y0)，则因为点F的坐标为(1，0)，直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x3y40，点E到直线PF的距离d2.所以dr.故以BD为直径的圆与直线PF相切
