1、函数的零点与方程的根的教学设计教学目标：知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维的思想，以及分析问题解决问题的能力。教学重点难点：1.重点：函数零
2、点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。2.难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。教学流程：一、创设情境、引出问题：1.渗透数学文化：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法2.问题提出:（1）对于数学关系式：2x-1=0与y=
3、2x-1它们的含义分别如何？（2）方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？（3）我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？3.问题探究： 求下列方程的根（1）；（2）；（3）二、 层层推进，组织探究：1. 创设情境：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数2.师生互动：师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？3.组织探究：老师给出函数零
4、点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点思考函数零点的概念，写出上述问题中三个函数的零点？并填下表函数函数的零点方程的根4.师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：（1）函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（3）函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5.互动讨论：是不是所有的二次函数都有零点？师：仅提出问题，不须做任何提示；引导学生
5、运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况。生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论二次函数 ），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点练习提问：1.画出下列函数的简易图像，判断其是否有零点，并求出其零点. 2.求下列函数的零点。(1)Y=2X-8 (2)Y=2+log3x6. 零点存在性的探索：（）观察二次函数的图象：（1）在区间上有零点吗？_； _，_,_0（或）思考：若0，那么
6、函数在上一定有零点吗?（2）在区间上有零点_； _0（或）思考：若，那么函数在上一定有零点吗?（）.（1）观察下面函数的图象： 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或） 在区间上_(有/无)零点；_0（或）_0（或）在区间上_(有/无)零点？ 0（或）。区间（2）思考：若函数满足，在区间上一定有零点吗？若函数满足，在区间上一定有零点吗？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（3）理解：如果在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根。（4）注意：此性质成立的前提是图象是连续不断的一条曲线。 零点并不一定
7、是唯一的，但一定存在。 是函数在区间内有零点的充分条件。但是若函数是一次、二次时，则是函数在区间内有零点的充要条件。（5）互动小结：师：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用三、 例题研究：例1：如果函数 仅有一个零点，求实数a的取值范围. 例2：求函数的零点个数问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零
8、点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？四、练习尝试：1利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）； （2） （3）2利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）； （2）； （3）； （4） 师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备。五、作业回馈1 完成课本P108习题31（A组）第1、2题；2 求下列函数的零点：（1）；
9、（2）3求下列函数的零点：图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）； （2）六、课外活动：课后讨论并总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？1.研究：， ，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达2.注意：考虑列表，建议画出图象帮助分析课后反思：学生对于函数和方程的概念都有一定的理解，而对零点的概念本质的理解，教学中老师需要进行强调，避免学生对概念的理解产生错误的认识，这一点我需要加强，学生对函数的应用的意识不强，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。教学时应遵循由浅入深、循序渐进的原则，效果会更好。本节课只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深，只要为下一节做好铺垫即可。
