1、石家庄2021-2022学年度高三年级第一学期10月联考数学试卷（时间：120分钟 分数： 150分）一单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）ABCD2设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数，则“函数在上单调递减”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（ ）ABCD5若直线与圆相交于两点，且（为原点），则的值为（ ）ABCD6已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ）ABCD7已知抛物线
2、的焦点为F，经过点的直线l与该曲线交于AB两点，且点P恰好为AB的中点，则（ ）ABCD8已知数列满足，对任意的有，设数列满足，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）ABCD二多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）9设正实数满足，则（ ）A的最大值是B的最小值是C的最小值为D的最大值为10已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（ ）A圆的方程为B直线的方程为C均与圆相切D四边形的面积为11已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（ ）A周长的最小值为B面积的最大值为C若的面积为，则为直角三角形D若直线与的斜率之积为，则为等腰三角形12已知函数
3、，其中，若不等式有解，则下列叙述正确的是（ ）ABC方程有唯一解D方程有唯一解三填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知向量满足，且，则与的夹角为_14在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则周长的最小值为_15已知数列的前项和为，满足，（），则数列的通项公式为_16已知双曲线（）的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为_四解答题（本大题共6小题，共70分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知等差数列的前项和为，数列的前项和为（）求数列和的通项公式；（）若数列
4、满足，求数列的前2021项和18（12分）中，角的对边分别为，且（）求角的大小；（）若，的面积为，求的周长19（12分）已知正项数列的前n项和为，满足（，），且.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和20（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（）求抛物线的方程及的值；（）设为坐标原点，过点的直线与相交于两点，为的中点，且，求直线的方程21（12分）已知函数（），（）讨论函数的单调性；（）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围22（12分）设为坐标原点，椭圆（）的右焦点为，过的直线与C交于两点，且当与轴垂直时，线段长度为1（）求椭圆C的方程；（）若对任意的直线，点总满足，求实数
5、的值；（）在（）的条件下，求面积的最大值数学试卷（参考答案）一单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1-4CDAB5-8AABB二多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）9BC10AC11ABC12BD三填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）1314 1516 四解答题（本大题共6小题，共70分请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】（）设的公差为，由，得.解得，所以（3分）当时，也符合上式所以.（6分）（）注意取偶数时，所以（8分）（10分）18【解析】（）由及正弦定理得，所以，又，.（4分）又，.（6分）（）由，根据余弦定理得，由的面积为，得
6、.（9分）所以，得，所以周长.（12分）19【解析】（）当时，由，故整理得由于数列为正项数列，所以（常数）所以是以为首项，1为公差的等差数列（3分）所以所以（5分）易见也适合该式，故（6分）（）由于（7分）所以（12分）20【解析】（）由， 从而 故抛物线的方程为 （3分）将代入得 （4分）（）易知，设 显然直线的斜率存在，设直线联立，消去得由，解得且（5分）从而（6分）由，知从而 ，即（8分）由是的中点，故，整理得（9分）代入得，解得，均满足所以直线的方程为或（12分）21【解析】（）当时，故在上单调递增（2分）当时，令，得，从而时，递增；时，递减综上，当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减（5分）（）不等式，即因为，所以（6分）令（7分）令，则，故在上递增，在上递减所以，即（9分）令，则设，则由，故在上单调递减，在上单调递增所以，即的最小值为所以实数的取值范围为（12分）22【解析】（）由题意当与轴垂直时，线段长度为1，故点代入椭圆方程可得联立方程组得所以椭圆C的方程为 （4分）（）当与轴垂直时，由，此时 当与轴不垂直时，因为，所以设点，直线的方程为所以又，所以（6分）联立直线和椭圆方程，消去得所以，代入上式得（8分）（）=设直线为，联立方程组消去得所以，.所以=（10分）由，当且仅当即时取等从而所以面积的最大值为（12分）
