1、河北省石家庄市2021届高三数学教学质量检测试题（一）（含解析）一、选择题（每小题5分）.1若集合A，B，U满足：ABU，则U（）AAUBBBUACAUBDBUA2设向量（1，2），（m，1），且（+），则实数m（）A3BC2D3甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（）A红、黄、蓝B黄、红、蓝C蓝、红、黄D蓝、黄、红4a2是a+3的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件52021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响
2、应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A630种B600种C540种D480种6已知菱形ABCD边长为2，ABC60，沿角线AC折叠成三棱锥BACD，使得二面角BACD为60，设E为BC的中点，F为三棱锥BACD表面上动点，且总满足ACEF，则点F轨迹的长度为（）A2B3CD7已知数列an的通项公式为annsin，则a1+a2+a3+a2021（）A1011BCD10118若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对A，B称为函数f（x）的“友情点对”（点对A，B与B，A视为同一个“友情点对”）若f（x）恰有两个“友
3、情点对”，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（1，0）二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9关于（12x）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021（xR），则（）Aa01Ba1+a2+a3+a202132021Ca38Da1a2+a3a4+a202113202110设z为复数，则下列命题中正确的是（）A|z|2zBz2|z|2C若|z|1，则|z+i|的最大值为2D若|z1|1，则0|z|211函数f（x）2sin（x+）（0，0）的图象如图，把函数f（x）
4、的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数yg（x）的图象，下列结论正确的是（）AB函数g（x）的最小正周期为C函数g（x）在区间，上单调递增D函数g（x）关于点（，0）中心对称12已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A离心率的取值范围为（0，）B当离心率为时，|QF|+|QP|的最大值为4+C存在点Q使得0D的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知随机变量X服从正态分布N（10，2），若P（X8）0.23，则P（X12） 14已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过F且被抛
5、物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程 ，此时该弦中点到y轴的距离为 15如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A为圆心，半径长为2的半圆，点D、M在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点M到平面ABD的距离为 16已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f（x），满足f（x）2，f（2）4，则不等式xf（x1）2x22x的解集为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知公差不为0的等差数列an满足a11，且a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn2n1，求数列anbn的前n项和Tn18在ABC中，
6、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cb（sinA+cosA）（）求角B的大小；（）若a+c2，求b的取值范围192022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过
7、辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等（）利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为d的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（）现
8、将椭圆1（ab0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A，B（如图3），类比（）中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A，B的体积之比20“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式某位选手率先在7局比
9、赛中拿下4局，比赛结束现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立（）求4局比赛决出胜负的概率；（）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望21已知坐标原点为O，双曲线1（a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为，离心率为（）求双曲线的方程；（）设过双曲线上动点P（x0，y0）的直线x0x1分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，求AOB的外心M的轨迹方程22已
10、知函数f（x），且方程f（x）a0在，上有解（）求实数a的取值范围；（）设函数g（x）（a+1）sinxxcosx（x，）的最大值为G（a），求函数G（a）的最小值参考答案一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合A，B，U满足：ABU，则U（）AAUBBBUACAUBDBUA解：集合A，B，U满足：ABU，如图，UBUA故选：B2设向量（1，2），（m，1），且（+），则实数m（）A3BC2D解：，且，解得m3故选：A3甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴
11、红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（）A红、黄、蓝B黄、红、蓝C蓝、红、黄D蓝、黄、红解：丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴蓝帽的人年龄大，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即带蓝帽子的人是丙综上所述，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝故选：B4a2是a+3的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解：由a+3，解得0a1或a2，故由a2可推出a+3，由a+3不能推出a2，故a2是a+3的充分不必要
12、条件，故选：C52021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A630种B600种C540种D480种解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种，综上，不同的安排方式共有90+90+360540种，故选：C6已知菱形ABCD边长为2，ABC60，沿角线AC折叠成三棱锥BACD，使得二面角BACD为60，设E为BC的中点，F为三棱锥BACD表面上动点，
13、且总满足ACEF，则点F轨迹的长度为（）A2B3CD解：连接AC、BD，交于点O，连接OB，ABCD为菱形，ABC60，所以ACBD，OBAC，ABC、ACD、ABC均为正三角形，所以BOD为二面角BACD的平面角，于是BOD60，又因为OBOD，所以BOD为正三角形，所以BDOBOD，取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以PQOD、EPOB，所以ACEP、ACPQ，所以AC平面EPQ，所以在三棱锥BACD表面上，满足ACEF的点F轨迹的EPQ，因为EPOB，PQOD，EQBQ，所以EPQ的周长为，所以点F轨迹的长度为故选：D7已知数列an的通项公式为annsin，则a1+a2
14、+a3+a2021（）A1011BCD1011解：数列an的通项公式为annsin，且ysin的周期为6n，故a6n+1+a6n+2+a6n+3+a6n+4+a6n+5+a6n+6（6n+1）sin+（6n+2）sin+（6n+3）sin+（6n+4）sin+（6n+5）sin+（6n+6）sin（6n+1）sin+（6n+2）sin+（6n+3）sin+（6n+4）sin+（6n+5）sin+（6n+6）sin（6n+1）+（6n+2）+（6n+3）0+（6n+4）（）+（6n+5）（）+（6n+6）03，又因为20216336+563371，a1+a2+a3+a2021337（3）a610
15、11，故选：D8若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对A，B称为函数f（x）的“友情点对”（点对A，B与B，A视为同一个“友情点对”）若f（x）恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，1）D（1，0）解：若使f（x）有两个友情点对，则a0，且y与yax2在x0时有两个交点，则ax2，a，即ya与y在x0时有两个交点，因为y，所以当x（0，1）时，y单调递增，当x（1，+）时，y单调递减，x1，ymax，又x0，y0，x+，y0，f（x）的大致图象为：要使ya与y在x0时有两个交点，则a（0，），即a（，0），故选：A二、选择题：本小题共4小题，每小
16、题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9关于（12x）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021（xR），则（）Aa01Ba1+a2+a3+a202132021Ca38Da1a2+a3a4+a2021132021解：令x0，则a01，故A正确，令x1，则（12）2021a0+a1+a2+a20211所以a1+a2+a2021112，故B错误，令x1，则（1+2）2021a0a1+a2a3+a202132021+可得：a可得：a1+a3+a2021所以可得：a0+a1a2+a3a4+a2021，所以a1a2+a3a4+
17、a2021132021，故D正确，展开式中含x3的项的系数为a8C，故C错误，故选：AD10设z为复数，则下列命题中正确的是（）A|z|2zBz2|z|2C若|z|1，则|z+i|的最大值为2D若|z1|1，则0|z|2解：设za+bi，对于A，|z|2a2+b2，故选项A正确；对于B，z2（a+bi）2a2b2+2abi，|z|2a2+b2，故选项B错误；对于C，|z|1表示z对应的点Z在单位圆上，|z+i|表示点Z对应的点与（0，1）的距离，故|z+i|的最大值为2，故选项C正确；对于D，|z1|1表示z对应的点Z在以（1，0）为圆心，1为半径的圆上，|z|表示z对应的点Z与原点（0，0）
18、的距离，故0|z|2，故选项D正确故选：ACD11函数f（x）2sin（x+）（0，0）的图象如图，把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数yg（x）的图象，下列结论正确的是（）AB函数g（x）的最小正周期为C函数g（x）在区间，上单调递增D函数g（x）关于点（，0）中心对称解：根据函数f（x）2sin（x+）（0，0）的图象，可得T，且 T，（，）把（0，）代入，可得2sin，或 再把根据图象经过最高点（ ，2），可得+2k+，kZ当时，+2k+，kZ，求得+，不满足条件（，），故，故A错误此时，由+2k+，kZ，求得+，令k1，可得2，满足条件（，），故f（x）2sin
19、（2x+）把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数yg（x）2sin（2x+）的图象，故g（x）的最小正周期为，故B正确当x，2x+，故g（x）单调递增，故C正确令x，求得g（x）0，故g（x）的图象不关于点（，0）中心对称，故D错误，故选：BC12已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A离心率的取值范围为（0，）B当离心率为时，|QF|+|QP|的最大值为4+C存在点Q使得0D的最小值为1解：因为长轴长为4，所以2a4，即a2，因为点P（，1）在椭圆内部，所以+1，即b2，对于A：e（，）
20、，所以e（0，），故A不正确；对于B：|QF1|+|QP|4|QF2|+|QP|，当点Q，F2，P共线且Q在x轴下方时，|QF2|QP|取最大值4+|PF2|，由e，即，解得c，所以F2（，0），所以|PF2|，所以|QF|+|QP|的最大值为4+，故B正确；对于C：若0，则|OQ|F1F2|c，由A选项知，cae（0，），b（，2），所以|OQ|minbc，所以不存在Q使得0，故C不正确；对于D：由基本不等式可得（|QF1|+|QF2|）（+）（1+1）24，又|QF1|+|QF2|4，所以+1，故D正确故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知随机变量X服从正态分布
21、N（10，2），若P（X8）0.23，则P（X12）0.77解：随机变量X服从正态分布N（10，2），P（X8）0.23，P（X12）0.23，P（X12）10.230.77故答案为：0.7714已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程y2x，此时该弦中点到y轴的距离为解：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为yk（x），代入y22px（p0），得设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长为2，由抛物线定义知，x1+x2+p2，则p+p2，即2p+，令k21，得p，抛物线y2x满足条件；设弦的中点为M（），
22、即此时该弦中点到y轴的距离为故答案为：y2x；15如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A为圆心，半径长为2的半圆，点D、M在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点M到平面ABD的距离为解：由侧面展开图可得圆锥如图，由题意可得，AB2，OB1，则BDOB1，DM，AO，设点M到平面ABD的距离为h，由VABMDVMABD，得，解得h故答案为：16已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f（x），满足f（x）2，f（2）4，则不等式xf（x1）2x22x的解集为（，0）（3，+）解：xf（x1）2x22x，x0时，f（x1）2（x1），令tx1，则t1，f（t）2t，令g（t）f（t）2t，则g
23、（t）f（t）20，g（t）递增，而g（2）f（2）40，故g（t）f（t）2t0g（2），故t2即x12，解得：x3，x0时，不等式xf（x1）2x22x显然无解，x0时，f（x）2（x1），令tx1，则t1，f（t）2t，令g（t）f（t）2t，则g（t）f（t）20，g（t）递增，而g（2）f（2）40，故g（t）f（t）2t0g（2），故t2即x12，解得：x3，故x0，故不等式xf（x1）2x22x的解集为（，0）（3，+），故答案为：（，0）（3，+）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知公差不为0的等差数列an满足a11，且a1，a2
24、，a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn2n1，求数列anbn的前n项和Tn解：（）设数列an的公差为d（d0），由题设可得：a22a1a5，即（1+d）21+4d，解得：d2，an1+2（n1）2n1；（）由（）可得：anbn（2n1）2n1，Tn120+321+522+（2n1）2n1，又2Tn121+322+（2n3）2n1+（2n1）2n，两式相减得：Tn1+22+23+2n（2n1）2n1+（2n1）2n，整理得：Tn（2n3）2n+318在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cb（sinA+cosA）（）求角B的大小；（）若a+c2，求b的取值范围解：（
25、）由正弦定理知，cb（sinA+cosA），sinCsinB（sinA+cosA），又sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinAcosBsinBsinA，sinA0，tanB，B（0，），B（）由余弦定理知，b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accos（a+c）23ac，a+c2，b243ac，即ac，而ac1，当且仅当ac1时，等号成立，1，解得b1，又ba+c2，1b2，故b的取值范围为1，2）192022年北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的
26、一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积、体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如九章算术中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两
27、个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等（）利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为d的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（）现将椭圆1（ab0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A，B（如图3），类比（）中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A，B的体积之比解：（）由图可知，图几何体是半径为R的半球，图几何体是底面半径与高都为R的圆柱挖掉了一个圆锥，与图截面面积相等的图
28、形是一个圆环，如阴影部分证明如下：在图中，设截面圆的圆心为O1，则圆O1的面积为（R2d2），在图中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d，则圆环的面积为（R2d2），截得的截面面积相等；（）类比（）可知，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，构造一个底面半径为b，高为a的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，以圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥的底面半径为b，高为a，半椭球截面圆的面积为，在圆柱内，圆环的面积为，根据祖暅原理得出椭球A的体积为VA2（V圆柱V圆锥）同理，椭球B的体积为则椭球A，B的体积之比为20“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛
29、制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方
30、获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立（）求4局比赛决出胜负的概率；（）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望解：（）若24分钟内打满2局，最后可能甲/乙获胜，则；若24分钟内打满3局，最后可能甲/乙获胜，则，因此4局比赛决出胜负的概率为；（）由题意可知，X的可能取值为4，5，6，7，所以P（X4），P（X5）+，P（X6）+，P（X7）+，所以X的分布列为：X 4 5 67 P 所以X的数学期望为E（X）4+5+6+721已知坐标原点为O，双曲线1（a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为，离心率为（）求双曲线的方程；（）设过双曲线上动点P（
31、x0，y0）的直线x0x1分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，求AOB的外心M的轨迹方程解：（）双曲线1（a0，b0）的渐近线为y，即bxay0，又焦点为（c，0），（c，0），根据题意可得，解得a21，b22，c23，所以双曲线的方程为x21（）双曲线的渐近线方程为yx，分别与x0x1联立，解得A（，），B（，），设C，D分别为OA，OB的中点，所以C（，），因为kOA，kOAkMC1，所以kMC，所以直线MC的方程为y+（x），同理直线MD的方程为y（x），联立得y2x，又因为P（x0，y0）在双曲线上，所以x02y021，所以1，所以1，所以点M的轨迹方程为122已知函数f（x），且方
32、程f（x）a0在，上有解（）求实数a的取值范围；（）设函数g（x）（a+1）sinxxcosx（x，）的最大值为G（a），求函数G（a）的最小值解：（）f（x），x，f（x），sin2x+2x1+2x0，f（x）0，f（x）单调递减，即x时，x时，即a的取值范围是，；（）g（x）（a+1）cosx（cosxxsinx）acosx+xsinx，g（x）asinx+sinx+xcosxxcosx（a1）sinx，当x，时，g（x）0，g（x）单调递减，又g（）0，g（）a0，由零点存在性定理必存在唯一x0（，），满足g（x0）0，当x（，x0）时，g（x）0即g（x）单调递增，当x（x0，）时，g（x）0即g（x）单调递减，由acosx0+x0sinx00，得a，x0（，），得G（a）g（x）maxg（x0）（a+1）sinx0x0cosx0（1）sinx0x0cosx0sinx0，由（）问知函数f（x）在（，）单调递减，即当a，时，x0，设H（x）sinx，x，H（x）cosx0，故H（x）单调递减，H（x）minH（）+，综上，函数g（x）的最大值G（a）的最小值是：+
