1、天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：1（3分）i是虚数单位，的值是（）A1B1CiDi2（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D103（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）ABCD4（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1l2，则a的值为（）A2B2CD5（3分）设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an”为递增数列的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概
2、率相同，则甲队获得冠军的概率为（）ABCD7（3分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定8（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1二、填空题：9（5分）以RtABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11（5分）在直
3、角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（为参数，a0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于12（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取名学生13（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为14（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是三、解答题：15（15分）已知锐角三角形ABC内角A、B、C
4、对应边分别为a，b，c（）求A的大小；（）求cosB+cosC的取值范围16（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）17（15分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F为PC的中点，AFPB（1）求PA的长；（2）求二面角BAFD的正弦值18（15分）数列an的各项均为正数，Sn为
5、其前n项和，对于任意的nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求a1；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列bn的前n项和为Tn，且bn=，求证：对任意正整n，总有Tn219（16分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kACkBD=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值20设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（）若函数y=f（x）在区间1，+）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求证：天
6、津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1（3分）i是虚数单位，的值是（）A1B1CiDi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答：解：=故选：A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A30B20C15D10考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数然后求解即可解答：解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令
7、r=2可得，T3=C62x2=15x2，（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15故选：C点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用牢记公式是基础，计算准确是关键3（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）ABCD考点：程序框图 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=+的值，并输出解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=+的值S=+=故选D点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法
8、是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模4（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1l2，则a的值为（）A2B2CD考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值解答：解：f（x）=，g（x）=axa1，则f（1）=，g（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f（1）g（1）=1，即a=1，所
9、以a=2故选A点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然5（3分）设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an”为递增数列的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列 专题：等差数列与等比数列；简易逻辑分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：等比数列1，2，4，满足公比q=21，但“an”不是递增数列，充分性不成立若an=1为递增数列，但q=1不成立，即必要性不成立，故
10、“q1”是“an”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键6（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）ABCD考点：相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一
11、场失败，第二场取胜，这种情况的概率为=则甲获得冠军的概率为故选D点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解7（3分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定考点：正弦定理；三角形的形状判断 专题：计算题；解三角形分析：直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出A的正弦函数值，然后求出角A，即可判断三角形的形状解答：解：因为bcosC+
12、ccosB=asinA，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin（B+C）=sin2A，即sinA=sin2A，A为三角形内角，所以sinA=1，A=三角形是直角三角形故选A点评：本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力8（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1考点：函数单调性的性质；导数的运算 专题：函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=exf（x）ex，结合已知可分析出函数
13、g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式exf（x）ex+1的解集解答：解：令g（x）=exf（x）ex，则g（x）=exf（x）+f（x）1对任意xR，f（x）+f（x）1，g（x）0恒成立即g（x）=exf（x）ex在R上为增函数又f（0）=2，g（0）=1故g（x）=exf（x）ex1的解集为x|x0即不等式exf（x）ex+1的解集为x|x0故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=exf（x）ex，是解答的关键二、填空题：9（5分）以RtABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB
14、=4，则OE=考点：平行线分线段成比例定理 专题：计算题分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长解答：解：由题意，连接OD，BD，则ODED，BDADOB=OD，OE=OE RtEBORtEDOEB=ED，EBD=EDB又EBD+C=90，EDB+EDC=90C=EDC，ED=ECEB=ECO是AB的中点，直角边BC=3，AB=4，AC=5OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200考点：由三视图求面积、体积 专题：规律型分析：由三视图可知该几
15、何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可解答：解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10梯形的面积为，棱柱的体积为2010=200故答案为：200点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及棱柱的体积公式，利用三视图确定几何体的直观图是解决此类问题的关键11（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（为参数，a0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程 专题：计算题分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论
16、解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（为参数，a0 ）化为普通方程：两曲线有一个公共点在x轴上，a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题12（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取15名学生考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据三个年级的人数比，做出2014-2015学年高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以2014-
17、2015学年高二所占的比例，得到要抽取的2014-2015学年高二的人数解答：解：2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，2014-2015学年高二在总体中所占的比例是=，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，要从2014-2015学年高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题13（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为6考点：平面向量数量积的运算；椭
18、圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值解答：解：设P（x，y），则=（x，y）（x+1，y）=x2+x+y2，又点P在椭圆上，故+=1，所以x2+x+（3）=+x+3=+2，又2x2，所以当x=2时，+2取得最大值为6，即的最大值为6，故答案为：6点评：本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题14（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（2）（2，+）考点：利用导数研究函数的极值 专题：三角函数的图像与
19、性质分析：由题意可得，f（x0）=，且 =k+，kz，再由题意x02+ f（x0）2m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可解答：解：由题意可得，f（x0）=，且 =k+，kz，即 x0=m再由x02+f（x0）2m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，m2 m2+3，m24 解得 m2，或m2，故m的取值范围是（2）（2，+）故答案为：（2）（2，+）点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：15（15分）已知锐角三角形ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c
20、（）求A的大小；（）求cosB+cosC的取值范围考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域 分析：（）由余弦定理表示出b2+c2a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（）由三角形为锐角三角形且由（）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的
21、范围即为cosB+cosC的取值范围解答：解：（）由余弦定理知，b2+c2a2=2bccosA，；（）ABC为锐角三角形，且，=，即cosB+cosC的取值范围是点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题16（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）考点：离散型
22、随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况取出的2个球颜色相同的概率P=（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1P（X=3）P（X=4）=，X的概率分布列为 X 2 3 4P故X数学期望E（X）=点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属
23、基础题17（15分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F为PC的中点，AFPB（1）求PA的长；（2）求二面角BAFD的正弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出ACBD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，3，z），根据F为PC边的中点且AFPB，算出z=2，从而得到=（0，0，2），可得PA的长为2；（I
24、I）由（I）的计算，得=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，）利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，2）和=（3，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角BAFD的正弦值解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点OBC=CD，AC平分角BCD，ACBD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=ACOC=3又OD=CDsin=，可得A（0，3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0）由于PA底面ABC
25、D，可设P（0，3，z）F为PC边的中点，F（0，1，），由此可得=（0，2，），=（，3，z），且AFPB，=6=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），=0且=0，取y1=得=（3，2），同理，由=0且=0，解出=（3，2），向量、的夹角余弦值为cos，=因此，二面角BAFD的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究
26、平面与平面所成角等知识，属于中档题18（15分）数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求a1；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列bn的前n项和为Tn，且bn=，求证：对任意正整n，总有Tn2考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）（2）由题意可得，利用和等差数列的通项公式即可得出（3）由（2）可得当n2时，利用裂项求和即可证明解答：解：（1）对于任意的nN*，总有an，Sn，an2成等差数列，令n=1，得，解得a1=1（2）当n2时，由，得，（an+an1）（anan11）=0，nN*，an
27、0，anan1=1，数列an是公差为1的等差数列，an=1+（n1）1=n（3）由（2）可得当n2时，=2当n=1时，T1=bn=12对任意正整n，总有Tn2点评：熟练掌握利用求an和等差数列的通项公式、放缩法、裂项求和等是解题的关键19（16分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kACkBD=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）把点代入椭
28、圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由kACkBD=，可得把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4SAOB=2|OA|OB|sinAOB，得到=4，代入计算即可证明解答：解：（1）由题意可得，解得，椭圆的标准方程为（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x10，x20设kAC=k，kACkBD=，可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，
29、联立，解得，=x1x2+y1y2=2，当且仅当时取等号可知：当x10，x20时，有最大值2当x10，x20有最小值2ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4SAOB=2|OA|OB|sinAOB=4=4=4=4=128，四边形ABCD的面积=为定值点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键20设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（）若函数y=f（x）在区间1，+）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x
30、1x2，求证：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：转化思想分析：（）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论解答：解：（）根据题意知：f（x）=在1，+）上恒成立即a2x22x在区间1，+）上恒成立2x22x在区间1，+）上的最大值为4，a4；经检验：当a=4时，x1，+）a的取值范围是4，+）（）在区间（1，+）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（1，+）上有两个不相等的实数根记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得，令，记，在使得p（x0）=0当 ，p（x）0；当x（x0，0）时，p（x）0而k（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，当，k（x）在单调递减，即点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大
