1、数 学H单元解析几何 H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程16H1、H42016全国卷 已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_164解析 直线l：m(x3)y0过定点(3，)，又|AB|2，2()212，解得m.直线方程中，当x0时，y2.又(3，)，(0，2)两点都在圆上，直线l与圆的两交点为A(3，)，B(0，2)设过点A(3，)且与直线l垂直的直线为xyc10，将(3，)代入直线方程xyc10，得c12.令y0，得xC2，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD2，|CD|4.H2两直线的位置
2、关系与点到直线的距离12E5、H22016江苏卷 已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_12.，13解析 可行域如图中阴影部分所示，x2y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方由图可知，x2y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即2，最大值为OB2223213.H3圆的方程3H22016上海卷 已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1与l2的距离是_3.解析 由两平行线间的距离公式得d.18H3、H42016江苏卷 如图16，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切
3、，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围图1618解：圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，
4、而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2，4)，T(t，0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22H4直线与圆、圆与圆的位置关系16H1、H42016全国卷 已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂
5、线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_164解析 直线l：m(x3)y0过定点(3，)，又|AB|2，2()212，解得m.直线方程中，当x0时，y2.又(3，)，(0，2)两点都在圆上，直线l与圆的两交点为A(3，)，B(0，2)设过点A(3，)且与直线l垂直的直线为xyc10，将(3，)代入直线方程xyc10，得c12.令y0，得xC2，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD2，|CD|4.4H42016全国卷 圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A BC. D24A解析 圆x2y22x8y130化为标准方程为(x1)2(y4)24，故
6、圆心为(1，4)，圆心到直线的距离d1，解得a.12H42016天津卷 如图13，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长为_图1312.解析 设圆的圆心为O，连接OD，可得BO，BODBDE，BD2BOBE3，BDDE.连接AC，易知AECDEB，即，EC.18H3、H42016江苏卷 如图16，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T
7、(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围图1618解：圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y0b0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_图1210.解析 方法一：由可得B(a，)，C（a，）.又由F(c，0)，得(ac，)，(ac，).又BFC90，所以0，化简可得2a23c2，即e2，故e.方法二：同方法一可得B(a，)，C(a，)，所以BCa，由椭圆的焦半径公式得BFaexBaea，CFaexCaea，又BFC
8、90，所以BF2CF2BC2，即(aea)2(aea)2(a)2，式子两边同除以a2可得e2，即e.11H52016全国卷 已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.11A解析 设M(c，y0)，则AM所在直线方程为y(xa)，令x0，得E（0，）.BM所在直线方程为y(xa)，令x0，得y.由题意得，解得a3c，故离心率e.19H5，H82016北京卷 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O
9、(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|BM|为定值19解：(1)由题意得解得a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)设P(x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN|2.所以|AN|BM|214.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值20H52016四川卷 已知椭圆E：1(a
10、b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P，证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值20解：(1)由已知得，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1，点T的坐标为(2，1)(2)证明：由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为(2，1)，|PT|2m2.设点A，B的坐标
11、分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得mb0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标图1521解：(1)由题意知，可得a24b2.因为抛物线E的焦点F（0，），所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y
12、21.(2)(i)证明：设P（m，）(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)(*)，且x1x2.因此x0，将其代入ymx，得y0，因此，所以直线OD的方程为yx.联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上(ii)由(i)知直线l的方程为ymx.令x0，得y，所以G（0，）. 又P（m，），F（0，），D（，），所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|，所以.设t2m21(t1)，则2，当，即t2时，取到最大值
13、，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为（，）.因此的最大值为，此时点P的坐标为（，）.19H5、H82016天津卷 设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围19解：(1)设F(c，0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x
14、216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH，因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k，所以直线l的斜率的取值范围为（，）.19H52016浙江卷 如图15，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围图1519解：(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段
15、为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线A，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此(1)(1)1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围为00，
16、b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_132解析 不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，如图所示因为四边形OABC为正方形，|OA|2，所以c2.因为直线OA是双曲线的一条渐近线，AOB，所以tan1，即ab，又a2b2c28，所以a2.3H62016江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_32解析 由题目所给方程可得a27，b23，故c210，所以焦距为2.5H62016全国卷 已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)5A解析
17、若已知方程表示双曲线，则(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2.又44m2，所以m21，所以1n0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_132解析 将xc代入1，得y.2|AB|3|BC|，232c，整理得2c22a23ac0，即2e23e20，解得e2或e(舍去)6H62016天津卷 已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.16D解析 由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所
18、示，渐近线OB：yx.设Bx0，x0，则x0x0，x01，B(1，)，1222，b212，双曲线方程为1.21H6，H8，F32016上海卷 双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点(1)若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b，若l的斜率存在，且()0，求l的斜率21解：(1)设A(xA，yA)，F2(c，0)，c，由题意，yb2(c21)b4，因为F1AB是等边三角形，所以2c|yA|，即4(1b2)3b4，解得b22.故双曲线的渐近线方程为yx.(2)由已知，F1(2，0)，F2(2，0)设A(x1，y1)，B(
19、x2，y2)，直线l：yk(x2)，显然k0.由得(k23)x24k2x4k230.因为l与双曲线交于两点，所以k230，且36(1k2)0.设AB的中点为M(xM，yM)由()0，即0，知F1MAB，故kF1Mk1.又xM，yMk(xM2)，所以kF1M，所以k1，得k2，故l的斜率为.H7抛物线及其几何性质10H72016全国卷 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D810B解析 设抛物线方程为y22px(p0)，点A在第一象限，点D在第二象限根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2，代入
20、抛物线方程得x，即点A（，2）.易知点D（，），由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以85，解得p4，此即为抛物线的焦点到准线的距离8H72016四川卷 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B.C. D18C解析 如图，由题可知F，设P点坐标为.显然，当y00时，kOM0时，kOM0.所以要求kOM的最大值，不妨设y00.因为 () ，所以kOM ，当且仅当y2p2时，等号成立14H72016天津卷 设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足
21、为B.设C（p，0），AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_14.解析 由题意得，抛物线的普通方程为y22px，F（，0），|CF|3p，|AB|AF|p，A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26.p0，p.9H72016浙江卷 若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_99解析 由题意得，p2，则1，即原点到准线的距离是1.由点M到焦点的距离与到准线的距离相等，知点M到准线的距离为10，故M到y轴的距离为1019.20H72016上海卷 有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F
22、点或河边运走于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图15所示(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1的面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”图1520解：(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以EH为准线的抛物
23、线在正方形EFGH内的部分，其方程为y24x(0y0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围图1822解：(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，0，由点，0在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异
24、两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1，2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以pb0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1
25、，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标图1521解：(1)由题意知，可得a24b2.因为抛物线E的焦点F（0，），所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)(i)证明：设P（m，）(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)(*)，且x1x2.因此x0，将其代入ymx，得y0，因此，所以直线OD的方程为yx.联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上(ii)由(i)知直线l的方程为ym
26、x.令x0，得y，所以G（0，）. 又P（m，），F（0，），D（，），所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|，所以.设t2m21(t1)，则2，当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为（，）.因此的最大值为，此时点P的坐标为（，）.H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）10H5，H82016江苏卷 如图12，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_图1210.解析 方法一：由可得B(a，)，C（a，）.又由F(c，0)，得(ac，)，(ac，).又BFC90，所以0，化简可得2a23c2，即e2
27、，故e.方法二：同方法一可得B(a，)，C(a，)，所以BCa，由椭圆的焦半径公式得BFaexBaea，CFaexCaea，又BFC90，所以BF2CF2BC2，即(aea)2(aea)2(a)2，式子两边同除以a2可得e2，即e.19H5，H82016北京卷 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|BM|为定值19解：(1)由题意得解得a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)设P(
28、x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN|2.所以|AN|BM|214.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值22H7、H82016江苏卷 如图18，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围图1822解：(1)抛物线C：y22px
29、(p0)的焦点为，0，由点，0在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1，2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22
30、p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围20解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，椭圆E的方程为1，A(2，0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意知t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN
31、的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0，由此得或解得k)的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围19解：(1)设F(c，0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，
32、整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH，因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k，所以直线l的斜率的取值范围为（，）.21H6，H8，F32016上海卷 双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点(1)若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b，若l的斜率存在，且()0
33、，求l的斜率21解：(1)设A(xA，yA)，F2(c，0)，c，由题意，yb2(c21)b4，因为F1AB是等边三角形，所以2c|yA|，即4(1b2)3b4，解得b22.故双曲线的渐近线方程为yx.(2)由已知，F1(2，0)，F2(2，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：yk(x2)，显然k0.由得(k23)x24k2x4k230.因为l与双曲线交于两点，所以k230，且36(1k2)0.设AB的中点为M(xM，yM)由()0，即0，知F1MAB，故kF1Mk1.又xM，yMk(xM2)，所以kF1M，所以k1，得k2，故l的斜率为.H9曲线与方程20H8，H92016全国
34、卷 设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围20解：(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y
35、0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8)20H7、H92016全国卷 已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l
36、2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程20解：由题设知F（，0）.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A（，a），B（，b），P（，a），Q（，b），R（，）.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，所以1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2，所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件
37、的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合所以所求轨迹方程为y2x1. H10 单元综合7H102016浙江卷 已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n.易知e1e21，故选A.21H5，H7，H102016山东卷 平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点
38、P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标图1521解：(1)由题意知，可得a24b2.因为抛物线E的焦点F（0，），所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)(i)证明：设P（m，）(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0
39、m22)(*)，且x1x2.因此x0，将其代入ymx，得y0，因此，所以直线OD的方程为yx.联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上(ii)由(i)知直线l的方程为ymx.令x0，得y，所以G（0，）. 又P（m，），F（0，），D（，），所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|，所以.设t2m21(t1)，则2，当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为（，）.因此的最大值为，此时点P的坐标为（，）.32016淄博一中月考 若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是()Ax2y50 Bx2y30C2xy40 D2xy03A解析 由题知直
40、线PQ的斜率是，故直线PQ的方程是y2(x1)，即x2y50.42016汕尾调研 “k2”是“直线xyk0与圆x2y22相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4A解析 直线xyk0与圆x2y22相切，即k2.故选A.42016郑州质检 已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率e为()A. B. 2C. 2 D. 4D解析 设2c，m，F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，m，m.由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a，4a2mm，m2(2)a，2am(22)
41、a.，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.12016石家庄质检 已知椭圆C：1的离心率为，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，且，当直线l垂直于x轴时，.(1)求椭圆C的方程；(2)若，求弦长的取值范围1解：(1)由e，得.又当直线l垂直于x轴时， ，所以椭圆C过点，代入椭圆方程得1.又a2b2c2，联立可得a22，b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)当过点M的直线l的斜率为0时，点A，B 为椭圆长轴的两端点，322或32b0)和椭圆C2：y21的离心率相同，且点(，1)在椭圆C1上(1)求椭圆C1的方程(2)设P为椭圆C2上一动点，过点P作直线交椭圆C1于A，C两点，且P恰
42、为弦AC的中点，试判断AOC的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由1解：(1)由题知，1，a2b2c2，且，得a24，b22，椭圆C1的方程为1.(2)当直线AC的斜率不存在时，必有P(，0)，此时|AC|2，SAOC.当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k，点P(x0，y0)，则直线AC：yy0k(xx0)，与椭圆C1的方程联立，得(12k2)x24k(y0kx0)x2(y0kx0)240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x0，即x02ky0.又x2y2，y，SAOC|y0|.综上，无论P点怎样变化，AOC的面积为常数.42016河南六市联考 如图K451所示，在平面直
43、角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：1上的一点，从原点O向圆R：(xx0)2(yy0)28作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的标准方程 (2)若直线OP，OQ的斜率存在，并将其分别记为k1，k2，求k1k2的值 (3)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由图K4514解：(1)由圆R的方程知，圆R的半径r2.因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|r4，即xy16.又点R在椭圆C上，所以1.联立，解得所以所求圆R的标准方程为(x2)2(y2)28.(2)因为直线OP：yk1x和O
44、Q：yk2x都与圆R相切，所以2，2，化简得(x8)k2x0y0k1y80，(x8)k2x0y0k2y80，所以k1，k2是方程(x8)k22x0y0ky80的两个不相等的实数根，由韦达定理得，k1k2.因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y12x，所以k1k2.(3)当直线OP，OQ不与坐标轴重合时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由(2)知2k1k210，所以10，故yyxx.因为点P，Q都在椭圆C上，所以1，1，即y12x，y12x，所以xx，整理得xx24，所以yy12，所以|OP|2|OQ|2xyxy(xx)(yy)36.当直线OP，OQ与坐标轴重合时，显然有|OP|2|OQ|236.综上，|OP|2|OQ|236.
