1、数 学G单元 立体几何 G1 空间几何体的结构14G12016浙江卷 如图13，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_图1314.解析 在ABC中，因为ABBC2，ABC120，所以BADBCA30.由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos 1202222222cos 12012，所以AC2.设ADx，0x2，则DC2x，SPDCPDDCsinPDCx(2x)sinPDC，易知当x，PDC时，PDC的面积最大，此时ACBD，ACPD，且D为AC的中点，当BD平面PDC时，高为最大，故四面体
2、PBCD的体积的最大值是1.17G1、G7、B122016江苏卷 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图15所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？图1517解：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥P A1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(
3、m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a(m)，PO1h(m)，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大 G2 空间几何体的三视图和直观图6G22016北京卷 某三棱锥的三视图如图12所示，则该三棱锥的体积为()图12A. B.C. D
4、16A解析 根据三视图得到如图所示的直观图根据题意知三棱锥的底面三角形是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高h为1，故其体积VSABCh111.6G22016全国卷 如图11，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()图11A17 B18 C20 D286A解析 该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为r，则r3，解得r2，故该几何体的表面积为4222217.9G22016全国卷 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()图13A1836 B5418C90 D819B解析 由三视
5、图可知，该几何体为一个平行六面体，其上、下底面是边长为3的正方形，高为6，故其表面积S2(32336)5418.13G2，G72016四川卷 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图12所示，则该三棱锥的体积是_图1213.解析 由图易知正视图是腰长为2的等腰三角形，三棱锥的4个面都是腰长为2的等腰三角形，三棱锥的俯视图与其正视图全等，且三棱锥的高h1，则所求体积VSh1.6G22016全国卷 图12是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图12A20 B24C28 D326C解析 几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥
6、母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得l4，故S表r2chrl416828.5G2，G82016山东卷 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A. B.C. D15C解析 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，半球的直径为，该几何体的体积为111. 11G22016天津卷 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图12所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.图12112解析 根据三视图可知，该四棱锥的底面积S212，高h3，故其体积V232.11G22016浙江卷 某几何体的三视图如图12所示(
7、单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.图12117232解析 该几何体的直观图如图所示，该几何体是由两个相同的长方体放在一起构成的，而每个长方体的体积为22416(cm3)，表面积为2(222442)40(cm2)，故几何体的体积为16232(cm3)，表面积为24022272(cm2)G3 平面的基本性质、空间两条直线11G3，G42016全国卷 平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B.C. D.11A解析 因为平面平面CB1D1，所以平面与平面ABCD的交线m平行于平面C
8、B1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以lB1D1，所以mB1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线因为平面ABB1A1平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以nCD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60，则其正弦值为.6G3，A22016山东卷 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6A解析 当两个平面内
9、的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点G4 空间中的平行关系11G3，G42016全国卷 平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B.C. D.11A解析 因为平面平面CB1D1，所以平面与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以lB1D1，所以mB1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线因为平面ABB1A1平面CDD1C1，所以平面CB1D
10、1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以nCD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60，则其正弦值为.14G4，G52016全国卷 ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)14解析 对于，mn，m，n，则，的位置关系无法确定，故错误；对于，因为n，所以可过直线n作平面与平面相交于直线c，则nc，因为m，所以mc，所以mn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知其正确；
11、对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确故正确的有.17G4，G5，G112016北京卷 如图13所示，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由图1317解：(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平
12、面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系O xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2，2)又(1，1，1)，所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0，1使得.因此点M(0，1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)(1，2，2)0，解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.
13、16G4、G52016江苏卷 如图14，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.图1416证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1，又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A平面A1B1C1，因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1，又因为A1C1A1B1，AA1平
14、面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.19G4、G112016全国卷 如图15，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值图1519解：(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中
15、点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，所以TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N（，1，2），(0，2，4)，（，1，2），（，1，2）.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)，于是|cosn，|.故直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.18G7，
16、G4，G112016四川卷 如图14，在四棱锥P ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P CD A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值图1418解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找
17、的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一：易知PA平面ABCD.由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角P CD A的平面角，所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.因为PA平面ABCD，所以PACE，于是CE平面PAH，所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于点Q，则AQ平面PCE，所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于
18、是CDPD，从而PDA是二面角P CD A的平面角，所以PDA45.由PAAB，PACD，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.17G4，G5，G112016山东卷 在如图14所示的圆台中，AC
19、是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角F BC A的余弦值图1417解：(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)方法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.由题意
20、得B(0，2，0)，C(2，0，0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量为m（1，1，）.因为平面ABC的一个法向量为n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角F BC A的余弦值为.方法二：连接OO，过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，可得FNBC，从而FNM为二面角F BC A的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin 45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角
21、F BC A的余弦值为.17G4、G112016天津卷 如图14，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角O EF C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值图1417解：依题意，OF平面ABCD，如图所示，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0)(1)证明：依题
22、意，(2，0，0)，(1，1，2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0，2，1)又(0，1，2)，可得n10.又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)易证(1，1，0)为平面OEF的一个法向量依题意，(1，1，0)，(1，1，2)设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨设x21，可得n2(1，1，1)因此有cos，n2，于是sin，n2，所以二面角O EF C的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1，2)，所以(，)，进而有H(，)，从而(，)，因此cos，n2，所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为. G5
23、 空间中的垂直关系14G4，G52016全国卷 ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)14解析 对于，mn，m，n，则，的位置关系无法确定，故错误；对于，因为n，所以可过直线n作平面与平面相交于直线c，则nc，因为m，所以mc，所以mn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知其正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确故正确的有.17G4，G5，G112016北京卷 如图13所示，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD
24、，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由图1317解：(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系O xyz.由题意得，A(0，1，
25、0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2，2)又(1，1，1)，所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0，1使得.因此点M(0，1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)(1，2，2)0，解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.16G4、G52016江苏卷 如图14，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B
26、1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.图1416证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1，又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A平面A1B1C1，因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1，又因为A1C1A1B1，AA1平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA
27、1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.18G5，G112016全国卷 如图14，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D AF E与二面角C BE F都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角E BC A的余弦值图1418解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，又DFFEF，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面AB
28、EF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz.由(1)知DFE为二面角D AF E的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，)由已知得，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角C BE F的平面角，故CEF60，从而可得C(2，0，)，所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，)设m(x1，y1，z1
29、)是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m，结合图形得，二面角E BC A的余弦值为.19G5，G112016全国卷 如图14，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角B DA C的正弦值图1419解：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF
30、，且OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz，则H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，(3，4，0)，(6，0，0)，(3，1，3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4，3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3，1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角B DA C的正弦值是.17G4，G5，G112016山东卷 在如图14所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(
31、1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角F BC A的余弦值图1417解：(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)方法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0)过点F作FM垂直OB于点M，所
32、以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量为m（1，1，）.因为平面ABC的一个法向量为n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角F BC A的余弦值为.方法二：连接OO，过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，可得FNBC，从而FNM为二面角F BC A的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin 45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角F BC A的余弦值为.17G5、G102016浙江卷 如图14，
33、在三棱台ABC DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角B AD F的平面角的余弦值图1417解：(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)方法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以，BQF是二面角B AD F的平面角在RtACK中，AC3，
34、CK2，易得FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为.方法二：延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz(如图所示)由题意得B(1，0，0)，C(1，0，0)，K(0，0，)，A(1，3，0)，E(，0，)，F(，0，).因此，(0，3，0)，(1，3，)，(2，3，0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，
35、1)；由得取n(3，2，)于是，cosm，n.所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为.G6 三垂线定理G7 棱柱与棱锥13G2，G72016四川卷 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图12所示，则该三棱锥的体积是_图1213.解析 由图易知正视图是腰长为2的等腰三角形，三棱锥的4个面都是腰长为2的等腰三角形，三棱锥的俯视图与其正视图全等，且三棱锥的高h1，则所求体积VSh1.17G1、G7、B122016江苏卷 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图15所示)，并要求
36、正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？图1517解：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥P A1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a(m)，PO1h(m)，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的
37、容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大18G7，G4，G112016四川卷 如图14，在四棱锥P ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P CD A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值图1418解：(1)在梯形ABCD中，AB
38、与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一：易知PA平面ABCD.由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角P CD A的平面角，所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.因为PA平面ABCD，所以PACE，于是CE平面PAH
39、，所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于点Q，则AQ平面PCE，所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD，从而PDA是二面角P CD A的平面角，所以PDA45.由PAAB，PACD，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以(1，0，
40、2)，(1，1，0)，(0，0，2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. G8 多面体与球10G82016全国卷 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.10B解析 当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，ABBC，AB6，BC8，8r16r110，解得r12，不合题意当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则2r23，即r2，球的体积V的最大值为.5G2，G82016山东
41、卷 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A. B.C. D15C解析 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，半球的直径为，该几何体的体积为111.G9空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系17G5、G102016浙江卷 如图14，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角B AD F的平面角的余弦值图1417解：(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BF
42、AC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)方法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以，BQF是二面角B AD F的平面角在RtACK中，AC3，CK2，易得FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为.方法二：延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建
43、立空间直角坐标系O xyz(如图所示)由题意得B(1，0，0)，C(1，0，0)，K(0，0，)，A(1，3，0)，E(，0，)，F(，0，).因此，(0，3，0)，(1，3，)，(2，3，0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是，cosm，n.所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为.G11 空间角与距离的求法6G112016上海卷 如图11所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成的角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于_图1162解析 连接
44、BD，由题意得BD3，tanDBD1DD12.19G112016上海卷 将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图14所示，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧(1)求三棱锥C O1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小图1419解：(1)由题意可知，圆柱的高h1，底面半径r1.由的长为，可知A1O1B1，所以SO1A1B1O1A1O1B1sinA1O1B1，所以V三棱锥C O1A1B1SO1A1B1h.(2)设过点B1的母线与下底面交于点B，则BB1AA1，连接CB，OB，所以CB1B或其补角为直线B1C与AA1所成的角由长为，
45、可知AOC，又AOBA1O1B1，所以COB，从而三角形COB为等边三角形，得CB1.因为B1B平面AOC，所以B1BCB.在CB1B中，因为B1BC，CB1，B1B1，所以CB1B，从而直线B1C与AA1所成的角的大小为.17G4，G5，G112016北京卷 如图13所示，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由图1317解：(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所
46、以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系O xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2，2)又(1，1，1)，所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0，1使得
47、.因此点M(0，1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)(1，2，2)0，解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.18G5，G112016全国卷 如图14，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D AF E与二面角C BE F都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角E BC A的余弦值图1418解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，又DFFEF，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)
48、知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz.由(1)知DFE为二面角D AF E的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，)由已知得，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角C BE F的平面角，故CEF60，从而可得C(2，0，)，所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，)设m(x
49、1，y1，z1)是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m，结合图形得，二面角E BC A的余弦值为.19G4、G112016全国卷 如图15，四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值图1519解：(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，所以TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PA
50、B.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N（，1，2），(0，2，4)，（，1，2），（，1，2）.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)，于是|cosn，|.故直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.18G7，G4，G112016四川卷 如图14，在四棱锥P ABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，
51、使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P CD A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值图1418解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)方法一：易知PA平面ABCD.由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角P CD A的平面角，所以P
52、DA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.因为PA平面ABCD，所以PACE，于是CE平面PAH，所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于点Q，则AQ平面PCE，所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD，从而PDA是二面角P CD A的平面角，所以PDA45.由PAAB，PACD，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向
53、分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2，1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.19G5，G112016全国卷 如图14，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角B DA C的正
54、弦值图1419解：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，且OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz，则H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，(3，4，0)，(6，0，0)，(3，1，3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4，3，5)设n(x2，y2，z2)是平面A
55、CD的法向量，则即所以可取n(0，3，1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角B DA C的正弦值是.17G4，G5，G112016山东卷 在如图14所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角F BC A的余弦值图1417解：(1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GH
56、I，所以GH平面ABC.(2)方法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一个法向量为m（1，1，）.因为平面ABC的一个法向量为n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角F BC A的余弦值为.方法二：连接OO，过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC，可得FM3.过点M作M
57、N垂直BC于点N，连接FN，可得FNBC，从而FNM为二面角F BC A的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin 45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角F BC A的余弦值为.17G4、G112016天津卷 如图14，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角O EF C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值图1417解：依题意，OF平面ABCD，如图所示，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐
58、标系，依题意可得O(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，E(1，1，2)，F(0，0，2)，G(1，0，0)(1)证明：依题意，(2，0，0)，(1，1，2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0，2，1)又(0，1，2)，可得n10.又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(2)易证(1，1，0)为平面OEF的一个法向量依题意，(1，1，0)，(1，1，2)设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨设x21，可得n2(1，1，1)因此有cos，n2，于是sin，n2，所以二面角O E
59、F C的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1，2)，所以(，)，进而有H(，)，从而(，)，因此cos，n2，所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为. G12 单元综合32016惠州调研 如图K323所示是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A. 36() B. 36(2)C. 108 D. 108(2)图K3233B解析 由三视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，易知V366126636(2)32016绵阳诊断 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则； 如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交
60、；若m，nm，且n，n，则n且n.其中为真命题的是 () A B C D3D解析 若m，m，则，为真命题；若m，n，m，n，则，为假命题，若mn就得不出； 如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交，为假命题，与n还可能平行；若m，nm，且n，n，则n且n，为真命题故选D.72016邢台一中月考 已知四棱锥P ABCD的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图K331所示，则关于该四棱锥的下列结论中不正确的是()图K331A该四棱锥至少有两组侧面互相垂直B该四棱锥的侧面可能存在三个直角三角形C侧面PAD与侧面PBC不可能垂直D该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形7D解析 四棱锥P ABCD的直观
61、图如图所示，其中顶点P在底面上的射影为底面正方形的边BC的中点E.由平面PBC平面ABCD，ABBC，可得侧面PAB侧面PBC，同理，侧面PCD侧面PBC，故A正确；易知侧面PAB，PCD为直角三角形，只要调整四棱锥的高使侧面PBC为等腰直角三角形，则侧面中就可能有三个直角三角形，B正确；侧面PAD与侧面PBC不可能垂直，证明如下：假设侧面PAD与侧面PBC垂直，因为BCAD，所以BC平面PAD，设平面PAD平面PBCl，根据直线与平面平行的性质定理可得BCl.又PEBC，得PEl，根据两个平面垂直的性质定理，得PE平面PAD，由于PE平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD，与平面PAD平面
62、ABCDAD矛盾，所以假设不成立，故侧面PAD与侧面PBC不可能垂直，C正确；若PB2，则四棱锥的四个侧面均是等腰三角形，故D不正确12016郑州质检 如图K341所示，矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直，BADADC90，ABADCD，BEDF.(1)若M为EA的中点，求证：AC平面MDF；(2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小图K3411解： (1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，则在矩形CDEF中，点N为EC的中点又M为EA的中点，MNAC.又AC平面MDF，MN平面MDF，AC平面MDF. (2)平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，DE平面
63、CDEF，DECD，DE平面ABCD.以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设DAa，DEb，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)(a，a，b)，(0，2a，b)，(a，a，0)，BEDF, (a，a，b)(0，2a，b)b22a20，ba.设平面EBC的法向量为m(x，y，z)，则即取x1，则y1，z，故m(1，1，)注意到平面EAD的一个法向量为n(0，1，0)，而cos m，n，平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小为60.12016合肥高三质检 如图K351所示，六
64、面体ABCDEFGH中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DADHDB4，AECG3.(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值图K3511解：(1)证明：由题知AECG，又AECG，所以四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC.又易知ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF.因为BDBFB，所以EG平面BDHF.又DF平面BDHF，所以EGDF.(2)设ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得，EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点又O为AC的中点，所以OPAE，AEOP
65、，所以OP平面ABCD.又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直易得BF2.以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则B(0，2，0)，E(2，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，(2，2，3)，(2，0，0)，(0，2，1)设平面EFGH的法向量为n，由可得令y1，则z2，所以n(0，1，2)设BE与平面EFGH所成角为，则sin cosn.12016石家庄质检 如图K371所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为边长为的正方形，E，F分别为PC，AB的中点，PABD.(1)求证：PBPD；(2)若EF平面PCD，求
66、直线PB与平面PCD所成角的大小图K3711解： (1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以ACBD，且O为BD的中点又PABD，PAACA，所以BD平面PAC.连接PO，由于PO平面PAC，所以BDPO.又BODO，所以PBPD.(2)设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ綊CD，所以四边形AFEQ为平行四边形，所以EFAQ.又EF平面PCD，又PD的中点为Q，所以APAD.又ADCD，且AQADA，所以CD平面PAD，所以CDPA.又DBPA，DBCDD，所以所以AQ平面PCD，所以AQCD，AQPD.PA平面ABCD.连接CQ，OQ，设CQ 的中点为H，连接OH，则在ACQ中，OHAQ，所以OH平面PCD.又在PBD中，OQBP，所以OQH即为直线PB与平面PCD所成的角因为OHAQAD，OQPB1，所以在RtOQH中，sinOQH，所以OQH30，即直线PB与平面PCD所成的角为30.
