1、加练课4 直线与圆的综合问题1.圆x2+y2=4 上的点到直线4x-3y+25=0 的距离的取值范围是( )A.3,7 B.1,9 C.0,5 D.0,3答案：A2.点P(4,-2) 与圆x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1答案：A3.若过直线3x-4y+2=0 上一点M 向圆 ：(x-2)2+(y+3)2=4 作一条切线，且切点为T ，则|MT| 的最小值为( )A.10 B.4C.22 D.23答案：D4.直线l 是圆x2+y2=4 在
2、(-1,-3) 处的切线，点P 是圆x2-4x+y2+3=0 上的动点，则P 到l 的距离的最小值等于( )A.3 B.2C.3D.4答案：B5.（2021重庆云阳江口中学高二月考）直线2x-(a+1)y+2a=0 被圆x2+y2-8y=0 截得的最短的弦长为( )A.5 B.11C.25 D.211答案：D6.（2021四川乐山十校高二期中联考）已知实数x,y 满足x2+y2-4x=0 ，则x2+y2+2x+8y+17 的最大值为( )A.3B.7C.9D.49答案：D7.（2021云南师大附中高二段考）已知点A(-m,0),B(m,0),mR ，若圆C ：(x-3)2+(y-3)2=2 上
3、存在点P 满足PAPB ，则m 的最大值是( )A.22 B.32C.42 D.52答案：C素养提升练8.（2021安徽黄山屯溪一中高二期中）点P 是直线2x+y+10=0 上的动点，直线PA,PB 分别与圆x2+y2=4 相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于( )A.8 B.4C.24D.16答案：A解析：圆x2+y2=4 的圆心为O(0,0) ，半径r=2 ，因为圆心O(0,0) 到直线2x+y+10=0 的距离d=104+1=252 ，所以直线2x+y+10=0 与圆x2+y2=4 相离，又点P 是直线2x+y+10=0 上的动点，直线PA,PB
4、分别与圆x2+y2=4 相切于A ，B 两点，所以|PA|=|PB| ，PAOA ，PBOB ，因此四边形PAOB 的面积S=SPAO+SPBO=2SPAO=212|PA|r=2|PA|=2|PO|2-4 ，所以四边形PAOB 的面积最小时，只需|PO| 最小，又|PO|min 即圆心O(0,0) 到直线2x+y+10=0 的距离d=25 ，所以四边形PAOB 的面积的最小值为220-4=8 .9.已知圆E ：(x-1)2+(y+1)2=1 ，圆F ：(x-4)2+(y-5)2=9 ，点M、N 分别是圆E 、圆F 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN|-|PM| 的最大值是( )A.25+
5、2 B.25+4 C.7D.9答案：D解析：圆E ：(x-1)2+(y+1)2=1 的圆心为E(1,-1) ，半径r=1 ，圆F ：(x-4)2+(y-5)2=9 的圆心为F(4,5) ，半径R=3 ，要使|PN|-|PM| 最大，需|PN| 最大，且|PM| 最小，易知|PN| 的最大值为|PF|+3 ，|PM| 的最小值为|PE|-1 ，故|PN|-|PM| 的最大值是(|PF|+3)-(|PE|-1)=|PF|-|PE|+4 ，易知F(4,5) 关于x 轴对称的点是F(4,-5) ，所以|PF|-|PE|=|PF|-|PE|EF|=(4-1)2+(-5+1)2=5 ，故|PF|-|PE|
6、+4 的最大值为5+4=9.10.（2021湖北黄石有色一中高二期末）已知圆E 经过点A(0,0) ，B(1,1) ，从下列3个条件中任选一个，回答下列问题.圆E 过点C(2,0) ；圆E 恒被直线mx-y-m=0(mR) 平分；圆E 与y 轴相切.（1）求圆E 的标准方程；（2）过点P(3,0) 的直线l 与圆E 相交于A、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.答案：（1）选，设圆E 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) ，由题意可得F=0, 2+D+E+F=0,4+2D+F=0, 解得D=-2,E=0, F=0, 则圆E 的方程为x2+y2-2x=0 ，即(x
7、-1)2+y2=1 .选，易知直线mx-y-m=0 恒过(1,0)点，因为圆E 恒被直线mx-y-m=0(mR) 平分，所以mx-y-m=0 恒过圆心，所以圆心为(1,0)，故可设圆E 的标准方程为(x-1)2+y2=r2(r0) ，由圆E 经过点A(0,0) 得r2=1 ，则圆E 的标准方程为(x-1)2+y2=1 .选，设圆E 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) .由题意可得a=r, a2+b2=r2, (1-a)2+(1-b)2=r2, 解得a=1,b=0,r=1, 则圆E 的标准方程为(x-1)2+y2=1 .（2）M 为线段AB 的中点，E 为圆心，根据垂径定理得EMA
8、B ，所以点M 落在以EP 为直径的圆上，其方程为(x-2)2+y2=1 ，即点M 的轨迹是以EP 为直径的圆落在圆E 内的一段圆弧，由(x-1)2+y2=1,(x-2)2+y2=1, 解得x=32 ，所以点M 的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x32) .11.已知圆x2+y2=4 上一定点A(2,0),B(1,1) 为圆内一点，P,Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 的中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90 ，求线段PQ 的中点的轨迹方程.答案：（1）设线段AP 的中点为M(x,y) ，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x-2,2y) .因为点P 在圆x2+y2=4 上，所以(2x-2
9、)2+(2y)2=4 ，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1 .（2）设线段PQ 的中点为N(x,y) ，则在RtPBQ 中，|PN|=|BN| .设O 为坐标原点，连接ON ，则ONPQ ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 ，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ 的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0 .创新拓展练12.（2021四川高二期中联考）已知圆C ：(x+3)2+(y-4)2=16 ，直线l ：(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(mR) .（1）若直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为211 ，求m 的
10、值；（2）若m0 ，直线l 与圆C 相离，在直线l 上有一动点P ，过P 作圆C 的两条切线PM,PN ，切点分别为M,N ，且cosMPN 的最小值为1345 ，求m 的值，并证明：直线MN 恒过定点.命题分析 本题考查了由直线与圆的位置关系求直线方程，证明直线恒过定点问题.答题要领 （1）由弦长公式及点到直线的距离公式得到关于m 的方程，求出m 的值即可.（2）利用余弦的二倍角公式得到cosMPN=1-32|CP|2 ，点C 到直线l 的距离d=5|m+3|m2+1 ，根据弦心距性质得到|CP|=d 时，cosMPN 的值最小，由此得到cosMPN 的最小值为1-32d2 ，然后根据已知最
11、小值求得d 的值，进而求得m 的值.设P(a,2a-5) ，以CP 为直径的圆记为圆D ，MN 为圆C 和圆D 的公共弦，然后利用两圆的方程相减得到公共弦MN 所在直线的方程，进而证得直线MN 恒过定点.详细解析（1）由题意知圆C的圆心为C(-3,4) ，半径r=4 ，由弦AB 的长为211 ，得点C 到直线l 的距离d=r2-(12|AB|)2=42-(11)2=5 ，又d=|(2m+1)(-3)+(m-2)4-3m-4|(2m+1)2+(m-2)2=5|m+3|m2+1 ，5|m+3|m2+1=5 ，解得m=-43 .（2）cosMPN=1-2sin2MPC=1-2(|CM|CP|)2=1
12、-32|CP|2 ，由（1）知点C 到直线l 的距离d=5|m+3|m2+1 ，|CP|d ，|CP|=d 时，cosMPN 的值最小，即cosMPN 的最小值为1-32d2 ，由已知得1-32d2=1345 ，解得d=35 ，5|m+3|m2+1=35 ，解得m=34 或0，m0,m=34 .当m=34 时，直线l 的方程为2x-y-5=0 ，设P(a,2a-5) ，以CP 为直径的圆记为圆D ，则圆D 的方程为(x+3)(x-a)+(y-4)(y-2a+5)=0 ，即x2+y2+(3-a)x+(1-2a)y+5a-20=0 ，由题意知圆C的方程为x2+y2+6x-8y+9=0 ，由-得(a+3)x+(2a-9)y-5a+29=0 ，M、N 两点为圆C 和圆D 的公共点， 为直线MN 的方程，由变形得(x+2y-5)a+3x-9y+29=0 ，由x+2y-5=0, 3x-9y+29=0, 解得x=-1315,y=4415, 直线MN 恒过定点(-1315,4415) .解题感悟 本题构造以CP 为直径的圆，并记为圆D 是解题的关键.
