1、双曲线的标准方程基础达标练1.已知两定点F1(-3,0),F2(3,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是( )A.|PF1|-|PF2|=5 B.|PF1|-|PF2|=6C.|PF1|-|PF2|=7 D.|PF1|-|PF2|=0答案：A2.若双曲线x2m-y2=1的焦距为8，则实数m的值是( )A.15 B.17 C.15D.17答案：C3.（2021山东德州一中高二月考）已知点M为双曲线C:x2-y28=1左支上一点，F1,F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|= ( )A.1B.4C.6D.8答案：B4.已知方程x21+m+y2m-2=1
2、表示双曲线，则m的取值范围是( )A.(-1,+) B.(2,+)C.(-,-1)(2,+) D.(-1,2)答案：D5.与椭圆C:y216+x212=1共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为( )A.x2-y23=1 B.y22-x2=1C.y22-x22=1 D.y23-x2=1答案：C6.（2020黑龙江哈尔滨三中高二期中）已知F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点，P为C上一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积是9，则b= ( )A.1B.2C.3D.4答案：C7.（2020山东济南一中高二月考）若椭圆x2a+y2b=1(ab0)和双曲线x2m-y2
3、n=1(m0,n0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的交点，则|PF1|PF2|的值是( )A.b-n B.a-mC.b-n D.a-m答案：D8.经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为 .答案：y225-x275=1解析：设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,t-10,5-t0,b0)，则有9a2-4b2=1,a2+b2=5,解得a2=3,b2=2，所以双曲线的标准方程为x23-y22=1 .（2）因为点M在双曲线上，且|MF1|=2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有|MF1|-|MF2|=23，故|MF1|=43,|MF2|=23，又|F1F2|=25，
4、所以在MF1F2中，由余弦定理得cosF1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1|MF2|=56，所以sinF1MF2=116，所以SMF1F2=12|MF1|MF2|sinF1MF2=124323116=211 .创新拓展练15.已知F1、F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上一点，且满足|PF1|=2|PF2|，则PF1F2面积的最大值是( )A.1B.43 C.53 D.2答案：B解析：命题分析本题为双曲线中焦点三角形面积的最值问题，是双曲线定义的具体应用.答题要领利用双曲线的定义求得|PF1|
5、，过F2作AF2PF1，设|AP|=x，则|AF1|=4a-x，进而利用勾股定理求得x，|AF2|，运用二次函数的性质，可得PF1F2面积的最大值.详细解析由题意可得2c=|F1F2|=2，由双曲线的定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，因为|PF1|=2|PF2，所以|PF2|=2a，|PF1|=4a，过F2作AF2PF1，垂足为A，如图.设|AP|=x，则|AF1|=4a-x，由勾股定理可得|AF2|=4a2-x2=4-(4a-x)2，解得x=5a2-12a，则PF1F2的面积为12|AF2|PF1|=124a4a2-(5a2-12a)2=-9a4+10a2-1=-9(a2-59)2+16943，当且仅当a2=59，即a=53时，取得等号.则PF1F2面积的最大值是43 .方法感悟根据勾股定理和三角形面积公式得到面积关于a2的函数是解题关键.
