1、2015-2016学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知U=R，M=x|x2x0，则UM=（）A（，0）（1，+）B（，01，+）C（0，1）D0，12已知i是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A3+iB1+3iC3iD13i3在下列区间中，函数f（x）=ex+x3的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）4已知sin（x）=，则cos（x）=（）ABCD5设变量x，y满足约束条件：，z=x+2y的最大值为（）A3B4C6D56若xR，则“x=1”是
2、“x3=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7已知向量=（1，x），=（2，2），若，则（+）=（）A2B4C6D88某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A7B7C7D79已知圆C：x2+y22x3=0，直线l：ax+y+1=0，那么它们的位置关系（）A圆与直线相切B圆与直线相交C圆与直线相离D以上三种均有可能10运行如图程序，输出结果S为（）A1B0C1D11已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若F1AB为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）ABCD212函数f（x）=xnln
3、x部分图象如图所示，则n可能是（）A1B2C3D4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13某学校有男老师48人，女老师36人若用分层抽样的方法从该校的老师中抽取一个容量为21的样本，则抽取男老师人数为14已知数列an是等差数列，且a1+a5+a9=21，则a4+a6=15已知三棱锥SABC各顶点都在球O的球面上，若SA=SB=SC=1，且SA、SB、SC两两垂直，则球O的表面积为16已知向量=（1，2），=（2，1），=x+y，若随机取一个实数对（x，y），满足x0，y0且x+y=2，使得|的概率为三.解答题：6题70分，17题10分，18-22题各12分解答应写出文字说明，证明
4、过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=3n+13（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=lgan，设Tn为bn的前n项和，求Tn18设锐角ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2asinBb=0（1）求角A的大小；（2）若b+c=4，求ABC面积的最大值19在一次解题比赛中，甲、乙两组各四名同学答对题目数如茎叶图（1）当X=8，求乙组同学答对题目数的平均数和方差；（2）当X=9，用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学，记事件A为这两名同学答对题目数一样多，求事件A的概率（注：方差s2= （x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数
5、）20如图所示，AB为O的直径，点C在O上，PA平面ABC，点E为线段PB的中点（1）求证：OE平面PAC；（2）求证：平面PAC平面PCB21已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点P（x0，4）是C上一点，且|PF|=4（1）求点P的坐标和抛物线C的方程（2）抛物线C上异于点P的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若直线PA与直线PB的倾斜角互补，求证直线AB的斜率kAB的值等于122设函数f（x）=x3+6ax29a2x+3，0a1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）记函数f（x）的导函数为f（x），若x1a，1+a时，恒有|f（x）|3a成立，求实数a的取值范围2015-
6、2016学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知U=R，M=x|x2x0，则UM=（）A（，0）（1，+）B（，01，+）C（0，1）D0，1【考点】补集及其运算【分析】求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U=R，求出M的补集即可【解答】解：由M中不等式变形得：x（x1）0，解得：x0或x1，即M=（，0）（1，+），U=R，UM=0，1，故选：D2已知i是虚数单位，则（1+i）（2i）=（）A3+iB1+3iC3iD13i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】
7、直接由复数代数形式的乘法运算化简得答案【解答】解：（1+i）（2i）=13i，故选：D3在下列区间中，函数f（x）=ex+x3的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】二分法求方程的近似解【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=ex+x3的零点所在的区间【解答】解：函数f（x）=ex+x3在R上单调递增，f（0）=1+03=20，f（1）=e+13=e20，f（0）f（1）0根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=ex+x3的零点所在的区间是（0，1），故选：A4已知sin（x）=，则cos（x）=（）AB
8、CD【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用【分析】利用诱导公式即可化简求值得解【解答】解：sin（x）=，cosx=，cos（x）=cosx=故选：B5设变量x，y满足约束条件：，z=x+2y的最大值为（）A3B4C6D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可【解答】解：约束条件满足的可行域如图：当目标函数经过图中B时使得z最大；由得到B（1，1），所以z最大值为1+21=3；故选：A6若xR，则“x=1”是“x3=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件
9、与充要条件的判断【分析】解方程“x3=1”，求出x的值，结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：因为x3=1，解得x=1，由集合的相等关系，我们不难得到“x=1”是“x3=1”的充要条件，故选：C7已知向量=（1，x），=（2，2），若，则（+）=（）A2B4C6D8【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量共线定理和数量积的运算即可得出【解答】解：向量=（1，x），=（2，2），12=2x，解得x=1，+=（3，3），（+）=13+13=6，故选：C8某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A7B7C7D7【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个小三
10、棱锥【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个小三棱锥该几何体的体积=23=7故选：D9已知圆C：x2+y22x3=0，直线l：ax+y+1=0，那么它们的位置关系（）A圆与直线相切B圆与直线相交C圆与直线相离D以上三种均有可能【考点】直线与圆的位置关系【分析】法一：求出圆心C到直线l：ax+y+1=0的距离d=，利用|a+b|即即可判断出结论法二：由于直线l：ax+y+1=0经过定点（0，1）在圆内，即可判断出位置关系【解答】解法一：圆C：x2+y22x3=0，配方为：（x1）2+y2=4，可得圆心C（1，0），半径r=2圆心C到直线l：ax+y+1=0的距离d=2=r，当且仅当a
11、=1时取等号（利用|a+b|即可判断出结论）它们的位置关系是相交法二：由于直线l：ax+y+1=0经过定点（0，1）在圆内，因此直线与圆相交故选：B10运行如图程序，输出结果S为（）A1B0C1D【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k，S的值，当k=2017时满足条件k2016，退出循环，输出S的值为1，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，k=1，S=1不满足条件k2016，执行循环体，k=2，n=2，S=0不满足条件k2016，执行循环体，k=3，n=3，S=1不满足条件k2016，执行循环体，k=4，n=4，S=0不满足条件k2016，执行循环体，
12、k=5，n=5，S=1观察规律可知S的取值周期为4，由于2016=4504，可得不满足条件k2016，执行循环体，k=2016，n=2016，S=0不满足条件k2016，执行循环体，k=2017，n=2017，S=1满足条件k2016，退出循环，输出S的值为1故选：C11已知双曲线=1（a0，b0）的左右焦点为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若F1AB为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】联立方程求出A，B的坐标，结合F1AB为等边三角形，建立方程关系，进行求解即可【解答】解：当x=c时，=1，得=1=，则y2=，则y
13、=，则A（c，），B（c，），F1（c，0），F1AB为等边三角形，AF1F2=30即可，则tanAF1F2=tan30=，即b2=ac，则c2a2=ac，即c2aca2=0，则e2e1=0，得e=，故选：B12函数f（x）=xnlnx部分图象如图所示，则n可能是（）A1B2C3D4【考点】函数的图象【分析】求导数，确定极值点，即可得出结论【解答】解：f（x）=xnlnx，f（x）=xn1（nlnx+1）=0，可得x=，根据图象，n=1时，x=是极值点，满足题意，n=1故选：A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13某学校有男老师48人，女老师36人若用分层抽样的方法从该校的老师
14、中抽取一个容量为21的样本，则抽取男老师人数为：12【考点】分层抽样方法【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用此概率乘以男老师的人数，即得所求【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，抽取男老师的人数为48=12，故答案为：1214已知数列an是等差数列，且a1+a5+a9=21，则a4+a6=14【考点】等差数列的通项公式【分析】直接由已知a1+a5+a9=21，结合等差数列的性质求解答案【解答】解：数列an是等差数列，a1+a9=a4+a6=2a5，又a1+a5+a9=21，a5=7a4+a6=2a5=27=14故答案为：1415已知三棱锥SABC各顶点都在球O的球面上，若SA=SB=SC
15、=1，且SA、SB、SC两两垂直，则球O的表面积为3【考点】球的体积和表面积【分析】由题意一个三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，可知，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积【解答】解：三棱锥SABC中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4（）2=3故答案为：316已知向量=（1，2），=（2，1），=x+y，若随机取一
16、个实数对（x，y），满足x0，y0且x+y=2，使得|的概率为【考点】几何概型【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积和向量的模得到x2+y23，再求出AB，CD的长度，根据几何概率公式计算即可【解答】解：向量=（1，2），=（2，1），=x+y，|2=|x+y|2=|x|2+|y|2+2xy=5x2+5y215，x2+y23， 对于x+y=2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，AB=2，由，解得或，CD=2，满足x0，y0且x+y=2，使得|的概率为=故答案为：三.解答题：6题70分，17题10分，18-22题各12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和S
17、n满足2Sn=3n+13（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=lgan，设Tn为bn的前n项和，求Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据an=SnSn1进而求得n2时数列的通项公式，进而利用a1=S1求得a1，最后综合可求得an（2）求出bn=lgan=lg3n=nlg3，根据等差数列的求和公式计算即可【解答】解：（1）2Sn=3n+13，当n2时，2an=2（SnSn1）=3n+13（3n3）=23n；an=3n，当n=1时，2a1=2S1=323=6，a1=3，满足上式，an=3n，（2）bn=lgan=lg3n=nlg3，Tn=lg3（1+2+3+n）=18设锐角ABC
18、的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2asinBb=0（1）求角A的大小；（2）若b+c=4，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数（2）因为b+c=4，利用基本不等式，可求得bc4，从而可求ABC的面积的最大值【解答】（本题满分为14分）解：（1）利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=sinB，sinB0，sinA=，A为锐角，A=60 （2）由基本不等式得，b+c=42，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）bc4，SABC=bcsi
19、nA4=，ABC的面积的最大值为 19在一次解题比赛中，甲、乙两组各四名同学答对题目数如茎叶图（1）当X=8，求乙组同学答对题目数的平均数和方差；（2）当X=9，用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学，记事件A为这两名同学答对题目数一样多，求事件A的概率（注：方差s2= （x1）2+（x2）2+（xn）2，其中为x1，x2，xn的平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（1）当X=8时，先求出乙组同学答对题目数的平均数，再计算方差（2）当X=9时，甲组四名同学答对题目数为9，9，11，11，乙组四名同学答对题目数为9，8，9，10，先求出基本事件总数，再求出事件
20、A包含的基本事件个数，由此能求出事件A的概率【解答】解：（1）当X=8时，乙组同学答对题目数的平均数：=（8+8+9+10）=，方差S2=（8）2+（8）2+（9）2+（10）2=（2）当X=9时，甲组四名同学答对题目数为9，9，11，11，乙组四名同学答对题目数为9，8，9，10，用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学，基本事件总数n=44=16，事件A为这两名同学答对题目数一样多，则事件A包含的基本事件个数m=22=4，事件A的概率p=20如图所示，AB为O的直径，点C在O上，PA平面ABC，点E为线段PB的中点（1）求证：OE平面PAC；（2）求证：平面PAC平面PCB【考点】平面与
21、平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）由中位线定理得出OEPA，故而OE平面PAC；（2）又PA平面ABC得出PABC，又ACBC得出BC平面PAC，从而有平面PAC平面PBC【解答】证明：（1）O是AB的中点，E是PB的中点，OEPA，又OE平面PAC，PA平面PAC，OE平面PAC（2）PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，AB是O的直径，ACBC又PAPAC，AC平面PAC，PAAC=A，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC21已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点P（x0，4）是C上一点，且|PF|=4（1）求点P的坐标和抛物线C的方程（2）
22、抛物线C上异于点P的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若直线PA与直线PB的倾斜角互补，求证直线AB的斜率kAB的值等于1【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设点P（x0，4），由已知条件得x0+=4，42=2px0，由此能求出抛物线的方程为y2=8x（2）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出y1+y2=2y0，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y1+y2=2y0代入求得结果为非零常数【解答】（1）解：点P（x0，4）是C上一点，|PF|=4，由抛物线的定义得x0+=4又42=2px0，二式联立
23、解得x0=2，p=4故此抛物线的方程为y2=8x；（2）证明：设直线AB的斜率为kAB设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y12=8x1，y02=8x0相减得（y1y0）（y1+y0）=2p（x1x0）故kPA=（x1x0）同理可得kPB=（x2x0）由PA，PB倾斜角互补知kPA=kPB即=所以y1+y2=2y0由y22=8x2，y12=8x1相减得（y2y1）（y2+y1）=8（x2x1）所以kAB=（x1x2）将y1+y2=2y0（y00）代入得kAB=1，所以直线AB的斜率kAB的值等于122设函数f（x）=x3+6ax29a2x+3，0a1（1）求函数f（x）的单调区间
24、；（2）记函数f（x）的导函数为f（x），若x1a，1+a时，恒有|f（x）|3a成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对函数求导，结合f（x）0，f（x）0，f（x）=0可求解（2）由题意可得ax2+4ax3a2a在1a，1+a恒成立，结合二次函数的对称轴x=2a与区间1a，1+a与的位置分类讨论进行求解【解答】解：（1）f（x）=3x2+12ax9a2，且0a1，当f（x）0时，得ax3a；当f（x）0时，得xa或x3a；f（x）的单调递增区间为（a，3a）；f（x）的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（2）f（x）=3x2+12ax9a2=3（x2a）2+a2，令g（x）=（x2a）2+a2，当2a1a时，即0a时，f（x）在区间1a，1+a内单调递减g（x）max=g（1a）=24a2+18a3，g（x）min=f（1+a）=6a3|f（x）|3a，ag（x）a，a，此时，a=当2a1a，且2aa+1时，即a1，g（x）max=g（2a）=a2ag（x）a，即，a此时，a，当2a1+a时，得a1与已知0a1矛盾，综上所述，实数a的取值范围为，2016年8月30日
