1、数学归纳法教学设计周村区实验中学 申臻臻【教学目标】（1）知识与技能：理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。【教学重点】借
2、助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数有关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中有个小球，如何证明它们都是绿色的？ 问题2: 如果是一个等差数列，怎样得到? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论
3、不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。） 第一块骨牌必须要倒下 任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第块骨牌能推倒第块骨牌三、师生合作，形成概念。 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可以按照以下步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳
4、递推）假设时命题成立，证明当命题也成立.完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。上述这种证明方法叫做数学归纳法。四、讲练结合，巩固概念类型一 用数学归纳法证明等式例1：用数学归纳法证明： 证明：（1）当时，左边：，右边：，左边=右边，等式成立。 （2）假设当时等式成立，即 则当时， 左边 右边即当时，等式也成立。 由(1)，(2)得：对，等式成立【方法技巧】证明中的几个注意问题：（1）在第一步中的初始值不一定从取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）（2）在第二步中,证明命题成立时,必须用到命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造
5、成推理无效. （用上假设，递推才真） （3）明确变形目标（写明结论，才算完整）变式训练：用数学归纳法证明：证明： （1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立； （2）假设当时，等式成立，即，则当时所以，公式成立，由（1）（2）可知，当时，公式成立.类型二 归纳猜想证明例2：已知数列 为该数列的前项和，计算，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.解：， ， 根据上述结果，猜想.证明：（1）当时，左边，右边，猜想成立，（2）假设当时猜想成立，即，那么，当时， 所以，时，猜想成立，由（1）（2）可知，对于，猜想成立，即， 【方法技巧】 “归纳猜想证明”的一般环节 学生总结 课件展示
6、框图呈现变式训练：设，令， (1)写出，并猜想出数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.五、课堂小结1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；2.用数学归纳法证明等式：找准基础，奠基要稳。用上假设，递推才真。写明结论，才算完整3.归纳猜想证明六、当堂检测1.用数学归纳法证明的过程中，在验证时，左端计算所得的项为(C)A. B. C. D. 2.用数学归纳法证明，“从到”左端增乘的代数式为3.已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想( B )A. B. C. D. 设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.拓展训练（延伸提高，课下思考） 1.用数学归纳法证明.2. (2014石家庄高二检测)求证：.
