1、第10课时三角函数的图象与性质(1) 教学过程一、 问题情境先观看一个物理实验:这个实验的名称叫做“砂摆实验”,就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上,我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么?二、 数学建构这个曲线在实际生活中经常遇到,同时它也是我们平常所学习过的一个函数的图象,该曲线就是我们这阶段正在学习的正弦函数或余弦函数的图象,点明课题:正弦函数、余弦函数的图象及其画法.首先研究一下正弦函数y=sinx的图象画法,问题1对于正弦函数y=sinx,在上节课我们已知道正弦函数是周期函数,那么这对作出正弦函数y=sinx的图象有没有帮助?(正
2、弦函数y=sinx是周期函数,它的最小正周期为2;由于正弦函数的周期为2,因此我们只需画出一个周期的图象,然后根据周期性就可以得到整个函数的图象了)问题2如果请你画,你会选择怎样的区间?(选择最熟悉的区间0, 2)问题3作函数y=sinx, x0, 2的图象最基本的方法是什么?其具体步骤又是什么?(描点法(列表、描点、连线)下面可以结合学生的预习,投影展示利用描点法作出正弦函数y=sinx, x0, 2上的图象.(1) 列表:x02y0100(2) 描点;(3) 连线.(如图1)(图1)问题4以上我们利用描点法作出了正弦函数y=sinx, x0, 2的图象,在上面作图中,你觉得有不满意的地方吗
3、?(描点越多,图象越准确,感觉描的点还不够多(等等)学生可能不会注意点的位置精确度不高,教师可作如下点评:在上面的作图中,我们只是借助于有限的几个特殊角进行描点,这样作出的图象精确度就会打折扣,如果图画得不准确,会影响后面更深入地研究正弦函数的性质.问题5有没有办法精确地标出正弦函数y=sinx, x0, 2上任意一点Q(x0, sinx0)呢?(学生可能会提供下面的方法1,在前面指、对数函数和幂函数中已经多次使用过:方法1:我们可以借助计算机计算出sinx0,从而采用描点法作出正弦函数的图象(如图2):xsinxxsinx0010.8414710.10.0998331.10.8912070.
4、20.1986691.20.9320390.30.295521.30.9635580.40.3894181.40.98545 0.50.4794261.50.9974950.60.5646421.60.9995740.70.6442181.70.9916650.80.7173561.80.9738480.90.7833271.90.9463(图2)教师可以接着提问下面的问题:可不可以不借助电脑而直接利用尺规来描点作图呢?(换句话说就是能否利用几何图形表示出sinx0)方法2:借助正弦线描点作出正弦函数的图象.第一步:列表.首先在单位圆中画出0, , , , , 2的正弦线,并在x轴上0, 2这
5、一段相应的分成12等份.第二步:描点.把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线平移后的终点连接起来,就得到正弦函数y=sinx, x0, 2的图象(如图3).(图3)作法点评:相比较方法1,方法2作出的图象较为精确了,特别对于利用正弦线作图,图象的变化一目了然:(教师可以再用动画演示一下)当自变量x由0逐渐增大时,图象在递增并且呈上凸形状,在处函数达到最大值,在递减且上凸,过了点,在继续递减并且下凸,到达到最小值,之后在递增且下凸问题6以上作出了y=sinx, x0, 2的图象,那么y=sin
6、x, xR的图象怎么作出呢?(先作出函数y=sinx, x0, 2的图象,然后将作出的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx, xR的图象(如图4).(图4)一般来说,我们将正弦函数的图象叫做正弦曲线.3问题7再观察y=sinx, x0, 2的图象,其图象变化有没有一些关键特征?观察正弦函数在0, 2内的图象,可以发现起关键作用的点有以下五个:(0, 0), , (, 0), (2, 0).事实上,描出这五点后,函数y=sinx, x0, 2的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数的
7、简图.五点法的几点总结:(1) 注意五点的特征:最高点(波峰)、最低点(波谷)、平衡点(使得sinx, cosx等于0的点),它们属于三种特殊的函数值(正弦值为1, -1, 0);(2) 五点的横向间隔相等,其长度等于周期的;(3) 五点是连续变化的五点.问题8能否以正弦曲线的画法为基础,作出余弦函数y=cosx, xR的图象呢?你现在有几种方法?用平移变换法作y=cosx, xR的图象(放手让学生独立思考,自主活动,通过自己的探究得出余弦函数的图象.实际上,只要学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系,即cosx=sin,通过图象变换,由正弦函数图象得出余弦函数图象的方法是比较容易想到的),
8、因为cosx=sin,所以只需将y=sinx, xR的图象向左平移个单位即得.课件演示:由于y=cosx=cos(-x)=sin=sin,所以余弦函数y=cosx, xR与函数y=sin, xR是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到,如图5所示.(图5)余弦函数的图象叫做余弦曲线.问题9对比正弦曲线、余弦曲线,这两类曲线有相似之处吗?(这两个曲线形状一模一样,只不过是在坐标轴上的位置不同而已)问题10能否也用五点快速作出余弦曲线的图象?(同正弦函数图象一样,决定余弦曲线图象的也是五个关键点:(0, 1), , (, -1), , (2, 1),如果精确度要求不高
9、,也可以借助此五点作出余弦函数在一个周期内的图象,进而利用周期性作出整个图象)课件演示:“余弦函数图象的五点作法”(略)三、 数学运用【例1】用“五点法”画出下列函数的简图:(1) y=2cosx, xR;(2) y=sin2x, xR.(见学生用书P19)处理建议第(1)小题中,x分别取0, , , , 2这五个值就可以找到关键的五个点;第(2)小题中,2相当于正弦函数中的x,所以应该是2x分别取0, , , , 2这五个值,然后得到x分别取的五个值.可让学生先尝试自己列表、作图,教师然后指出不足.规范板书解(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x02cosx10-1012cosx20
10、-202描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(1).(例1(1)(2) 先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x02x02sin2x010-10描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(2).(例1(2)题后反思如何找到五点是解决本题的关键,应根据五点的图形特征来列表,即应该是图象上的最高、最低点,与x轴的交点.而描点的时候应该是x的取值和对应的y值组成一个点的坐标.思考函数y=2cosx与y=cosx的图象之间有何联系?函数y=sin2x与y=sinx的图象之间有何关系?(函数y=2cosx的图象应该是由函数y=cosx的图象上所有点的横坐标不变而纵坐标变为原来的2倍得到;函数y=sin2x
11、的图象应该是由函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标不变而横坐标变为原来的得到)【例2】画出函数y=sinx+|sinx|的简图.(见学生用书P20)处理建议引导学生先求出三角函数的周期,然后作出在一个周期内的图象.要重视对函数解析式的变形.规范板书函数的周期为2,在x0, 2时,y=作出函数图象如图:(例2)题后反思通过本例的学习,体会在数学解题中的等价转化思想,培养学生的分析、解决问题的能力.变式求函数y=sinx+|sinx|的值域.答案0, 2.题后反思通过变题,让学生清楚画好函数图象是今后研究函数的性质的基础.四、 课堂练习 1. 用“五点法”画出函数y=2sinx的简图.解略. 2. 用“五点法”画出函数y=cosx-1的简图.解略. 3. 利用函数y=cosx的图象写出方程cosx=的解集.解. 4. 利用函数y=sinx的图象写出不等式sinx的解集.解, kZ.五、 课堂小结 1. 正弦函数图象的几何描点作图法(利用三角函数线来描点). 2. 正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取). 3. 由正弦函数的图象平移得到余弦函数的图象. 4. 重视利用正弦、余弦函数的图象来研究函数的性质.
