1、课堂探究探究一 复数的加法与减法运算1复数的加减运算类比实数的加减运算，若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行2算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加3准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率【典型例题1】 计算下列各式：(1)(135i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(109i)(87i)(33i)；(4)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0132 014i)(2 0142 015i)思路分析：根据复数加法、减法的运算法则进行计算解：(1)(135i)(34i)(133)(54)i10i；(2)(
2、32i)(45i)(34)(25)i77i；(3)(109i)(87i)(33i)(1083)(973)i15i；(4)原式(12342 0132 014)(23452 0142 015)i1 0071 007i.探究二 复数加减运算的几何意义1复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算2由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题3在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形
3、；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形【典型例题2】 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC与BD相交于O点(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求AOB的面积思路分析：由复数加法、减法运算的几何意义可直接求得，对应的复数，先求出向量，对应的复数，通过平面向量的数量积求AOB的面积解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以，于是，而(14i)(32i)22i，即对应的复数是22i.(2)由于，而(32i)(22i)5
4、，即对应的复数是5.(3)由于，即，于是，而|，|，所以cosAOB，因此cosAOB，故sinAOB，故SAOB|sinAOB，即AOB面积为.探究三 复数加减运算的综合问题在进行复数的加法、减法以及模的运算时，主要依据加减运算法则、模的公式计算求解【典型例题3】 (1)已知复数z满足|z|，且z1是纯虚数，求z；(2)设f(z)z3i|z|，若z12i，z212i，求f(z1z2)思路分析：(1)设zxyi(x，yR)代入求解；(2)先求出z1z2，再代入f(z)中计算解：(1)设zxyi(x，yR)，则z1(x1)yi，由已知得解得或于是复数z12i或z12i.(2)由已知得z1z2(2
5、i)(12i)33i，于是f(z1z2)f(33i)33i3i(33i)|33i|3i3.故f(z1z2)33i.探究四 复平面内两点间距离公式及应用1|z1z2|表示复平面内，复数z1，z2对应的点Z1与Z2之间的距离，在应用时，要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式；2涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解【典型例题4】 已知zC，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值思路分析：|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点与复数34i对应的点之间的距离，从而可知z对应点的轨迹为圆，然后借助几何方法求解解：由于|z34i|z(34i)|1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数34i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(3,4)为圆心，半径等于1的圆而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|5，所以点Z到原点O的最大距离为516，最小距离为514，即|z|max6，|z|min4.
