1、本章复习提升易混易错练易错点1忽略数列与一般函数的区别致错1.(2020北京人大附中高三三模,)等比数列an中,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则ann(nN*)的最小值为()A.1625B.49C.12D.12.()已知函数f(x)=ax-5,x6,4-a2x+4,x0)的等比数列.(1)求使anan+1+an+1an+2an+2an+3成立的q的取值范围;(2)求数列an的前2n项和S2n.11.()在等差数列an中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an+bn是首项为1,公比为q的等比数列,求数列bn的前n项和Sn.思想方法练一、
2、函数思想在数列中的应用1.(2021山东济南历城第二中学高三月考,)已知函数f(x)对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=12,则i=0n1f(i)=()A.1-12nB.2-12nC.2n-1D.2n+1-12.()已知数列an为等差数列,且满足a2=0,a6=12,数列bn的前n项和为Sn,且b1=1,bn+1=2Sn+1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若对任意的nN*,不等式kSn+12an恒成立,求实数k的取值范围.二、方程思想在数列中的应用3.()已知各项均为正数的数列an为等比数列,Sn是它的前n项和,若S3=7a3,且a2与a4的等差中项为5,
3、则S5=()A.29B.31C.33D.354.(2021安徽六安高三开学考试,)设an是等比数列,公比q不为1.已知a1=13,且a1,2a2,3a3成等差数列,则数列an的前5项和S5=.5.(2020湖南怀化高三第一次模拟,)在等比数列an中,a4=2,a5=5.(1)求数列lg an的前8项和S8;(2)若等差数列bn满足a2b2=a4+b4=8,求数列bn的通项公式.三、分类讨论思想在数列中的应用6.()已知数列an满足an-(-1)nan-1=n(n2),记Sn为an的前n项和,则S40=.7.()设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,).(1)求q的取值范围;
4、(2)设bn=an+2-32an+1,记bn的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.8.(2021安徽皖北名校高二联考,)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b12+1-b222+1+b323+1-+(-1)n+1bn2n+1=12n-1,求数列bn的通项公式;(3)在(2)的条件下,设cn=2n+bn.是否存在实数,使得数列cn是递增数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.答案全解全析易混易错练1.D在等比数列an中,设公比为q(q0),当a1=1时,有4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a
5、3,即4q=4+q2,所以q=2,所以an=2n-1,所以ann=2n-1n,所以an+1n+1ann=2nn+11,当且仅当n=1时取等号,所以当n=1或n=2时,ann(nN*)取得最小值1,故选D.2.答案487,8解析由题意知,an=an-5,n6,nN*,4-a2n+4,n1,当n0,且a51,4-a20,a5a6,解得487a8.易错警示本题中数列an为递增数列需满足a5an(nN*)恒成立,即(n+1)2+b(n+1)n2+bn,化简得b-(2n+1).数列-(2n+1)是递减数列,当n=1时,-(2n+1)取得最大值-3,b-3.易错警示数列相比函数,其特殊性在定义域上,数列的
6、定义域是nN*,在利用函数的性质解决数列问题时要注意这一特殊性.4.C设等比数列an的公比为q,由题易知q1,则S10,S20-S10,S30-S20为等比数列,可得(S20-S10)2=S10(S30-S20)(S20-10)2=10(70-S20),即S202-10S20-600=0(S20-30)(S20+20)=0,解得S20=30或S20=-20(舍去),故S20=30.故选C.易错警示在等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,而非Sn,S2n,S3n成等比数列.5.答案318解析不妨设34是方程x2-3x+a=0的根,由根与系数的关系可得,该方程的另一根为3-34
7、=94,由等差数列的性质,知94是此等差数列的第四项,方程x2-3x+b=0的两根是等差数列的中间两项.易知此等差数列为34,54,74,94,故a=2716,b=3516,从而a+b=318.6.答案-2解析因为Sn=2+an+1,所以Sn-1=2+an(n2),两式左右分别相减,得an=an+1-an即an+1=2an(n2),故等比数列an的公比q=2.又S1=a1=2+a2=2+2a1,故a1=-2,故答案为-2.7.解析(1)当n=1时,a1=S1=2.当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n-1)-(n-1)2+2(n-1)-1=2n+1.而a1=221+1,所以数列an的通项
8、公式为an=2,n=1,2n+1,n2,nN*.(2)当n=1时,b1=1a1a2=125=110,当n2时,bn=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3,而b1=11012121+1-121+3,所以bn=110,n=1,1212n+1-12n+3,n2,nN*.当n=1时,T1=b1=110,当n2时,Tn=b1+b2+b3+bn=110+1215-17+17-19+12n+1-12n+3=110+1215-12n+3=4n+120n+30.又T1=110=41+1201+30,符合Tn=4n+120n+30,所以Tn=4n+120n+30(nN*).易错警示已知Sn求an
9、的解题过程通常分为四步:第一步,令n=1,得a1;第二步,令n2,得an;第三步,在第二步求得的an的表达式中取n=1,判断其值是否等于a1;第四步,写出数列的通项公式.其中第三步尤为关键,解题时一定要检验n=1时是否符合n2时求得的an的表达式,否则易导致第四步中数列的通项公式求解错误.8.答案-4解析因为2a+2为a与3a+3的等比中项,所以(2a+2)2=a(3a+3),解得a=-1或a=-4.当a=-1时,2a+2=0,3a+3=0,所以a=-1舍去,故a=-4.9.答案2或8解析设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1=6,符合题意,此时a3=a1=2;当q1时,由S3=a
10、1(1-q3)1-q=2(1-q3)1-q=6,即(q+2)(q-1)2=0,解得q=-2或q=1(二重根,舍去),此时a3=a1q2=8.综上可知,a3的值为2或8.易错警示等比数列的隐含条件:(1)等比数列中各项均不为零;(2)等比数列求和公式中q1;(3)在等比数列中,若公比为正数,则每一项同号,若公比为负数,则所有奇数项或者偶数项的符号相同.在等比数列的有关问题中容易忽略这些隐含条件致错,所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证,若所求结果使等比数列中的某些项为零,则一定要舍去.若等比数列的公比为参数,则应分公比等于1和不等于1两种情况讨论.10.解析(1)数列anan+1是公比为q
11、的等比数列,an+1an+2=anan+1q,an+2an+3=anan+1q2.anan+1+an+1an+2an+2an+3,anan+1+anan+1qanan+1q2,1+qq2,即q2-q-10),解得0qcn-1;当n4时,cn0),由S3=7a3,得a1+a2+a3=7a3,所以6a3-(a1+a2)=0,即6q2-q-1=0,解得q=12或q=-13(舍去).(根据已知条件建立关于q的方程求q,运用了方程思想)依题意得a2+a4=10,即a1(q+q3)=10,所以a1=16.所以S5=161-1251-12=31.4.答案121243解析由题意知,a1+3a3=4a2,即a1
12、+3a1q2=4a1q,因为a10,所以1+3q2=4q,解得q=13或q=1(舍去).(根据已知条件建立关于q的方程求q,运用了方程思想)所以an=a1qn-1=13n,则S5=131-1351-13=121243.5.解析(1)S8=lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a7a8)=lg(a4a5)4=4lg10=4,数列lgan的前8项和S8=4.(2)设an的公比为q.q=a5a4=52,a4=a1523=2,a1=16125,(根据已知条件建立关于a1的方程求a1,运用了方程思想)a2=a1q=1612552=825,b2=8a2=25,a4+b4=8,b4=8-2=6,设bn
13、的公差为d,则d=b4-b22=6-252=-192,bn=b2+(n-2)d=25-(n-2)192=-19n2+44(nN*).思想方法方程思想突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数,列方程(组)达到解题的目的.在数列的求值问题中通常可运用方程思想解决.6.答案440解析由an-(-1)nan-1=n(n2)得,当n=2k时,a2k-a2k-1=2k,当n=2k-1时,a2k-1+a2k-2=2k-1,当n=2k+1时,a2k+1+a2k=2k+1,(由于n2以及式中含有(-1)n,因此需对n进行分类求解,运用了分类讨论思想)+,得a2k+a2k-2=4k-1,-,得a2k+1
14、+a2k-1=1,所以S40=(a1+a3+a5+a7+a39)+(a2+a4+a6+a8+a40)=110+(7+15+23+31+79)=10+710+10928=440.7.解析(1)an是等比数列,Sn0,a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10;当q1时,Sn=a1(1-qn)1-q0,1-qn1-q0.(由于公比q是未知数,因此根据求和公式对q进行分类求解,运用了分类讨论思想)1-q0,1-qn0,1-qn0,解得q1,解得-1q0或0q-1且q0.(2)由bn=an+2-32an+1,得bn=anq2-32q,Tn=q2-32qSn,Tn-Sn=Snq2-32q-1=Snq
15、+12(q-2).当-1q2时,TnSn;当-12q2且q0时,Tn0,可得(-1)n-2n-12+32n.(由于式中含有(-1)n,因此需要对n的奇偶性进行分类讨论,运用了分类讨论思想)当n为大于或等于2的偶数时,-2n-12+32n,当且仅当n=2时,-811;当n为大于或等于3的奇数时,2n-12+32n,当且仅当n=3时,3219.综上,的取值范围为-811,3219.思想方法分类讨论思想是高中数学中一种常见且实用的逻辑方法,重点考查学生思维的清晰程度和严谨性.分类讨论常分以下四步完成:一是确认分类讨论的对象,二是确定分类的标准,三是分类讨论,四是总结归纳.在数列的有关问题中有时需要对公比q的取值范围,项数n的奇偶性,项的符号以及含有参数的问题进行分类讨论求解.
