1、江苏省泰州中学2017届高三摸底考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，则等于 【答案】【解析】试题分析：考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合12求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.已知复数满足，则的模为 【答案】【解析】试题分析：考点：复数的模【名师点睛】本题重
2、点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知，则 【答案】【解析】试题分析：考点：对数运算4.右图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 【答案】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂
3、的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 【答案】【解析】试题分析：由题意得考点：双曲线渐近线6.在中，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 【答案】考点：旋转体体积7.下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为 【答案】2015【解析】试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;直至结束循环，因此正整数的最大值为考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次
4、数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.向量， 【答案】【解析】试题分析：，所以考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.111.Com9.对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称为倍值函数若是倍值函数，则实数的取值范围是 【答案】考点：函数与方程【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的
5、含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.10.函数（）的最大值与最小值之和为 【答案】【解析】试题分析：因为为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数（）的最大值与最小值之和为2考点：奇函数性质11.已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 【答案】考点：直线与圆位置关系12.已知|，是线段上异于，的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 【答案】【解析】试题分析：设,则，在中，由余弦定理知，当且仅当时取等号，所以，因此的外接圆的半径考点：余弦定理
6、，基本不等式1【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是 【答案】考点：线性规划，不等式恒成立【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也
7、是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 【答案】【解析】试题分析：由题意，设该数列中任意两项为，它们的积为，则，即，故必须是81的正约数，即的可能取值为，所以的所有可能取值的集合为考点：等比数列二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知，且，（1）求的值；（2）证明：【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先由二倍角公式求出，再根据同角三角函数关系及锐角范围求（2）以算代证，即先算出的值，利用，将所求角转化为已知角，结合两角差的正弦公式及同角三角函数关系求得，最后再与比较大小即可试题解析：解：（1）将代入，得，又，解得（2
8、）易得，又，由（1）可得，111考点：二倍角公式，同角三角函数关系，两角差的正弦公式【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。16.如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，平面，且（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析
9、】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用正方形性质得（2）证明面面垂直，往往利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的论证，往往需要利用线面垂直性质与判定定理，经多次转化论证，本题由线面垂直平面得线线垂直，再加上。可证得线面垂直平面试题解析：证明：（1）正方形中，又平面，平面，平面考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，线面垂直性质与判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化
10、为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）为了获得更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中记第个月的利润率为，例如（1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率【答案】（1）（2）（3）40【解析】试题分析：（1）由及时定义确定，再分别求出并代入得（2）由于为分段函数，所以需分段讨论：当时，；当时，；当时，（3）分段求最值，再比较大小，确定最大值.当时，的最大值为,当时，当时
11、，有最大值为试题解析：解：（1）依题意得，（2）当时，当时，则，而也符合上式，故当时，当时，所以第个月的当月利润率为（3）当时，是减函数，此时的最大值为当时，当时，有最大值为即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为考点：分段函数求最值，函数应用18.已知椭圆：（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且证明直线与轴交点的位置与无关；若面积是面积的5倍，求的值；（2）若圆：，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点求面积取最大值时直线的方程【答案】（1）详见解析，（2）【解析】试题分析：（1）以算代证，即求出与轴交
12、点：根据直线与椭圆交点得，再根据两点式求直线的方程，最后令，得，先将面积比转化为对应边的比，再根据弦长公式将对应边的比转化为对应坐标的比，解得（2）关键将面积表示出来，先设一直线斜率，另一直线斜率为.利用圆中垂径定理可求弦长，即直角三角形边长，再根据直线与椭圆交点得Q点坐标，进而可得，因此，最后根据基本不等式或导数求最值试题解析：解：（1）因为，且，1111直线的斜率为，直线的斜率为，1直线的方程为，直线的方程为，由得，由得，；据已知，直线的斜率，直线的方程为，令，得，与轴交点的位置与无关，整理方程得，即，又有，为所求（2）因为直线，且都过点，所以设直线：，即，直线：，即，所以圆心到直线：，即
13、的距离，所以直线被圆所截的弦；由得，所以，所以，所以，当，即，解得时等号成立，此时直线：考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.19.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）（3）试题解析：解：（1）当时，
14、得当时，由，即，得，得，即，（），是等比数列，且公比是，（2）由（1）知，即，若数列为等比数列，则有，而，故，解得，再将代入，得，由，知为等比数列，（3）由，知，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，当时，当时，而，考点：由与关系求通项，数列单调性【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.20.已知函数（为自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数
15、使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，使得，证明：【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为（2）不存在（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为（2）构造函数，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点（3）为研究方便不妨设，则需证明，构造函数，可证在上单调增，即，因此，而在上递减，即111（3）若存在不等实数，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；若，由（2）知：当，则有，而，所以，即，而，由（1）知：函数在上单调递减，即有，由（1）知：函数在上单调递减，所以；综合，得：若存在不等实数，使得，则总有考点：利用导数求函数单调区间，利用导数证明不等式【思路点睛】导数与函数的单调性1111(1)函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
