1、广东省2022-2022年高考数学试题分类汇（13）圆锥曲线(解答题）三、解答题：18（2022年高考）在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设圆的圆心为 ， 则 ，解得， 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得， 椭圆的方程为 ，右焦点为； 若存在，则在的中垂线上，又、在圆C上，所以、关于直线对称；直线的方程为，即，设，则，解得， 存在，的坐标为 2（2022年高考）设，椭圆方
2、程为，抛物线方程为如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由，得，当得，点的坐标为，过点的切线方程为即，令，得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 关于的二次方程有一大于零的解，
3、有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形3（2022年高考） 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为12圆：的圆心为点 （1）求椭圆的方程； （2）求面积；（3）问是否存在圆包围椭圆？请说明理由 【解析】（1）设椭圆的方程为： （）半焦距为, 则 , 解得 , 所求椭圆的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点在圆外， 若，由可知点在圆外；不论为何值圆都不能包围椭圆.4（2022年高考）已知曲线，点是曲线上的点（,）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段
4、的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：【解析】（1），的切线斜率，的方程为，当时，（2）原点O到的距离，此时，（3）而， ，得证5（2022高考）在平面直角坐标系上，直线：交轴于点设是上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足（1）当点在上运动时，求点的轨迹的方程；（2）已知，设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围【解析】（1）如图所示，连接，则，动点满足或在的负半轴上，设， 当时，化简得 当在的负半轴上时，综上所述，点的轨迹的方程为或（
5、2）由（1）知的轨迹是顶点为，焦点为原点的抛物线和的负半轴 若是抛物线上的动点，过作于，由于是抛物线的准线，根据抛物线的定义有，则当三点共线时，有最小值 求得此时的坐标为 若是的负半轴上的动点， 显然有综上所述，的最小值为3，此时点的坐标为（3）如图，设抛物线顶点，则直线的斜率，点在抛物线内部，过点且不平行于轴的直线必与抛物线有两个交点，则直线与轨迹的交点个数分以下四种情况讨论： 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点， 当时，直线与轨迹有且只有三个不同的交点， 当时，直线与轨迹有且只有一个交点， 当时，直线与轨迹有且只有两个不同的交点，综上所述，直线的斜率的取值范围是6（2022年高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程【解析】（1）椭圆的左焦点，点在上，椭圆的方程为（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，消去并整理得，直线与椭圆相切，整理得 ，消去并整理得，直线与抛物线相切，整理得 综合，解得或直线的方程为或8
