1、十八函数的最大(小)值 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.函数f(x)=x3-6x(|x|1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f(x)=3x2-6=3(x+)(x-),因为x(-1,1),所以f(x)e时,y0;当0x0,所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.3.(2020开封高二检测)若函数f(x)=x+2sin x,则当x0,时,f(x)的最大值为()A.+2B.+3C.+2D.+【解析
2、】选D.f(x)=1+2cos x,当0x0,f(x)单调递增;当x时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)的最大值为f=+.4.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.给出的下列函数不具有M性质的为 ()A.f(x)=ln xB.f(x)=x2+1C.f(x)=sin xD.f(x)=x3【解析】选CD.对于A,f(x)=ln x,则g(x)=exln x,则g(x)=ex,令y=ln x+,所以y=-=,令y=0,x=1.当0x1时,y1时,y0,y单调递增.所以当x=1时,ymin=ln 1+=10
3、,所以g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,故f(x)=ln x具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,则g(x)=exf(x)=ex(x2+1),g(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)20在实数集R上恒成立,所以g(x)=exf(x)在定义域R上是增函数,所以f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sin x,则g(x)=exsin x,g(x)=ex(sin x+cos x)=exsin,显然g(x)不单调;对于D,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=exx3,g(x)=exx3+3exx2=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),当x-3时,g(x
4、)1,-1cos x1,即f(x)0.所以f(x)递增,于是f(x)min=f(0)=1.答案:16.函数f(x)=xe-x,x0,2的最大值是_.【解析】f(x)=,当x0,1)时,f(x)0,f(x)是增函数;当x(1,2时,f(x)0,f(x)是减函数.所以f(x)的最大值为f(1)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知函数f(x)=x3+ax2+2,且f(x)的导函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(1)求导函数f(x)及实数a的值.(2)求函数y=f(x)在-1,2上的最大值和最小值.【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+2得f(x)=3x2+2ax.因为f(x)
5、的图象关于直线x=1对称,得-=1.所以a=-3,f(x)=3x2-6x.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2,f(x)=3x2-6x.令f(x)=0得x1=0,x2=2.当x在-1,2上变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f(x)+0-0f(x)-22-2由表可知,当x=-1或x=2时,函数有最小值-2,当x=0时,函数有最大值2.8.(2020济南高二检测)已知函数f(x)=ex-ax,xR,e是自然对数的底数.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求a的值及f(x)的极值.(2)求函数f(x)在区间0,1上的最小值.【解析】(1)函数f(x)
6、=ex-ax,xR,所以f(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=2处取得极值,所以f(2)=0,所以a=e2,所以f(x)=ex-e2,当x(-,2)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(2)=e2-2e2=-e2,无极大值.(2)f(x)=ex-a,当a0时,f(x)0恒成立,即函数f(x)在0,1上单调递增,所以函数f(x)在0,1上的最小值为f(0)=1;当a0时,令f(x)=0得到x=ln a,若ln a0,即0a1时,在0,1上,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递增,所以函数f(x)在0,1上的最小值为f(0)=1,若ln a1,即ae时,在0,
7、1上,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递减,所以函数f(x)在0,1上的最小值为f(1)=e-a,若0ln a1,即1ae时,在0,ln a)上,f(x)0,即函数f(x)在0,ln a)上单调递减,在(ln a,1上单调递增,所以函数f(x)在0,1上的最小值为f(ln a)=a-aln a,综上所述,当a1时,函数f(x)在0,1上的最小值为1;当1ae时,函数f(x)在0,1上的最小值为a-aln a;当ae时,函数f(x)在0,1上的最小值为e-a. (15分钟30分)1.(5分)若函数y=f(x)=x3+x2+m在-2,1上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解析】
8、选C.y=3x2+3x=3x(x+1),由y=0,得x=0或x=-1.所以f(0)=m,f(-1)=m+.又因为f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大,即m+=,得m=2.2.(5分)(2020漳州高二检测)已知函数f(x)=ex+e-x,给出以下结论:(1)f(x)是偶函数;(2)f(x)的最大值为2;(3)当f(x)取到最小值时对应的x=0;(4)f(x)在(-,0)单调递增,在(0,+)单调递减.其中正确的结论是()A.(1)(2)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)D.(1)(4)【解析】选C.因为函数f(x)=ex+e-x,xR,所以f(-x)=e
9、-x+ex=f(x),所以函数f(x)是R上的偶函数,故(1)正确,因为f(x)=ex-e-x=ex-=,令f(x)=0得,ex=1,x=0,所以当x(-,0)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,且f(0)=2,画出函数f(x)的大致图象,如图所示:所以函数f(x)的最小值为2,故(2)错误,(3)正确,(4)错误.3.(5分)(2020南通高二检测)函数f(x)=x-sin x,x0,的最小值为_.【解析】f(x)=-cos x,所以x时,f(x)0,f(x)单调递增;所以f(x)min=f=-.答案:-4.(5分)(2020南京高二检测)函数f(x)=+的最小值为_.【解析】f(x)=+
10、=,由f(x)=0可得cos x=2sin x,即tan x=,又因为0x0时,若f在区间上的最小值为-2,求a的取值范围.【解析】(1)a=1,f=x2-3x+ln x,定义域为,又f=2x-3+= =.当x1或0x0;当x1时f0,所以函数f的极大值为f=-ln 2,函数f的极小值为f=-2.(2)函数f=ax2-x+ln x的定义域为,且f=2ax-+= =,令f=0,得x=或x=,当01,即a1时,f在上单调递增,所以f在上的最小值是f=-2,符合题意;当1e时,f在上的最小值是ff=-2,不合题意;当e时,f在上单调递减,所以f在上的最小值是f0,所以a-2x在1,+)上恒成立,令h(x)=-2x,x1,+),因为h(x)=-20,因为g(x)=6x2+a,当a0时, g(x)0恒成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,无最小值,不合题意,所以a0,令g(x)=0,则x= (舍负值),由此可得,g(x)在上单调递减,在上单调递增,则x=是函数的极小值点,g(x)最小=g=-6,解得a=-6,所以f(x)=2x+-6ln x.
