1、本章整合知识网络专题探究专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断通常利用正弦定理的变形如a2Rsin A将边化角，利用余弦定理的推论如cos A把角的余弦化边，或利用sin A把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论常见结论有：设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，若a2b2c2，则C90；若a2b2c2，则C90；若a2b290；若sin 2Asin
2、2B，则AB或AB【应用1】 在ABC中， 若sin Asin Bsin C234，则该三角形是_三角形提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可解析：sin Asin Bsin C234，根据正弦定理，得abc 234设a2m，b3m，c4m(m0)， cba，CBAcos C 0C是钝角ABC是钝角三角形答案：钝角【应用2】 在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用B60这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判
3、断解：解法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin CB60，AC120A120C，代入上式，得2sin 60sin(120C)sin C，展开，整理得sin Ccos C1sin(C30)1C3090C60故A60ABC为等边三角形解法二：由余弦定理，得b2a2c22accos BB60，b，2a2c22accos 60整理，得(ac)20，ac从而abcABC为等边三角形专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决
4、【应用1】 在ABC中，求证：(1)；(2)a2b2c22(bccos Acacos Babcos C)提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系证明：(1)由正弦定理，设 k，显然 k0，所以，左边 右边，即原等式成立(2)根据余弦定理，右边2caab(b2c2a2)(c2a2b2)(a2b2c2)a2b2c2左边，即原等式成立【应用2】 已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S求证：cot Acot Bcot C提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形证明：由余
5、弦定理，得cos A，所以cot A，同理可得cot B，cot C，所以cot Acot Bcot C专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型常用三角形面积公式：(1)SABCahabhbchc(2)SABCabsin Cbcsin Aacsin B(3)S【应用】 (2013重庆高考，文18)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值提示：(1)利用余弦定理求A；(2)利用正弦定理及面积公式将面积
6、S表示出来，再用三角变换的知识求出最值解：(1)由余弦定理得cos A又因0A，所以A(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cos Bcos C取最大值3专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的【应用1】 在ABC中，角A，B
7、，C的对边分别为a，b，c，且(1)求cos B的值；(2)若b，ac4，求ABC的面积提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac的技巧解：(1)由，得cos Csin B2sin Acos Bcos Bsin C2sin Acos Bsin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)sin(A)sin Asin A0，cos B(2)b2a2c22accos Ba2c2ac7，又ac4，(ac)23ac7ac3SABCacsin B3【应用2】 在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A(1)确定角C的
8、大小；(2)若c，且ABC的面积为，求ab的值提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a，b的方程求解，注意整体技巧解：(1)由a2csin A及正弦定理，得sin A0，sin CABC是锐角三角形，C(2)c，C由面积公式，得absin ，ab6由余弦定理，得c2a2b22abcos 7，即a2b2ab7由，得(ab)225，故ab5专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可
9、用框图表示为：还原，【应用1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD提示：要测出高CD，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可根据已知条件，可以计算出BC的长解：在ABC中，BAC15，ACB251510根据正弦定理，得BC7452 4(km)，CDBCtanDBCBCtan 81047(km)答：山的高度约为1047 km【应用2】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/时的
10、速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解解：设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB10x，AB14x，AC9，ACB7545120，(14x)2 92 (10x)2 2910xcos 120，化简，得32x230x270解得x或x(舍去)BC 10x 15，AB 14x 21又sinBAC ，BAC 3813或BAC 14147(钝角不合题意，舍去)3813458313答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过15小时才能追赶上该走私船
