1、第一章解三角形11正弦定理和余弦定理11.1正弦定理1已知ABC中，a4，b4，A60，则B等于()A45 B135 C45或135 D以上都不对2在ABC中，bsinAa180.B45.2B结合图形知有两解39A1803012030，由正弦定理得csinC6，SABCacsinB669.412ABC123，且ABC180，A30，B60，C90.abcsinAsinBsinCsin30sin60sin90112.课堂巩固1在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆半径R的值为()A3 B. C2 D不确定2在ABC中，若a2bsinA，则B等于()A30 B60 C30或150 D60或12
2、03(2009江苏徐州模拟)已知ABC中，0，SABC，|3，|5，则A_.4在ABC中，已知ax，b2，B45，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是_5根据下列条件解三角形a7，b9，A100；a10，b20，A60；a2，b，A45；a2，b6，A30.6在ABC中，已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状答案：1A在ABC中，62R，R3.2D由a2bsinA得，又，.sinB.B60或120.3150由0，得A为钝角，由SABC，|3，|5，得35sinA，sinA，即A150.4(2,2)有两解，asinBba，即xsin452x.解得2x
3、2.5解法一：a7，b9，ab.AB.又A100，本题无解bsinA20sin6010，absinA.本题无解a2，b，A45B.三角形有一解sinB，B30，C180(AB)180(3545)105，c21.a2，b6，ab，A30bsinA，本题有两解由正弦定理，得sinB，B60或B120.当B60时，C90，边c4；当B120时，C30，边c2.解法二：对于第小题，也可接如下解法求解sinB1，三角形无解sinB，又ab，AB，即B为锐角B30，有一解sinB，又ab，即AB，A30，B60或120，有两解6.解：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，(a2b2)(si
4、nAcosBcosAsinB)(a2b2)(sinAcosBcosAsinB)整理，得a2cosAsinBb2sinAcosB，由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.0A，0B，2A2B或2A2B.AB或AB.ABC为直角三角形或等腰三角形1在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长为()A. B. C. D.1答案：A由题意可得A180456075.B最小，最小边是b.由，得b.2(福建高考，文7)已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D302答案：BSABC34sinC3，sinC.ABC是锐角三角形，C.
5、3(广东广州模拟)设a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，且满足条件：4，则ABC的面积为()A. B4 C2 D23答案：A由正弦定理2R0，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.又，tanAtanBtanC.A、B、C为ABC的内角，ABC60.由4，得a2，SABC22sin60.4在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且B2A，则的取值范围是()A(2,2) B(0,2) C(1，) D(，)4答案：D由正弦定理，知，又B2A，2cosA.ABC为锐角三角形，0B90.02A90.0A45.又0C90.3A90.A30.30A45.2c
6、osAC.cosC，C，B，A.sinA.6设a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，则由a2b(bc)可得A_B.6答案：2若a2b(bc)，则sin2AsinB(sinBsinC)，则sinBsinC，(cos2Bcos2A)sinBsinC，sin(BA)sin(AB)sinBsinC.又sin(AB)sinC，sin(AB)sinB.ABB，A2B.7在ABC中，sin2Asin2Bsin2C的值为_7答案：0由正弦定理得sin2A2sinAcosA2cosA2sin(BC)cosAsin2Csin2B.同理sin2Bsin2Asin2C，sin2Csin2Bsin2A，原
7、式0.8.(山东高考，文17)已知函数f(x)2sinxcos2cosxsinsinx(0)在x处取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a1，b，f(A)，求角C.8答案：解：(1)f(x)2sinxcosxsinsinxsinxsinxcoscosxsinsinxsinxcoscosxsinsin(x)因为f(x)在x时取最小值，所以sin()1.故sin1.又0a，所以B或B.当B时，CAB；当B时，CAB.综上所述，C或C.9在ABC中，acosAbcosBccosC，试判断ABC的形状9答案：解：由正弦定理，设2R0.a2RsinA，b2Rsi
8、nB，c2RsinC.代入已知条件得2RsinAcosA2RsinBcosB2RsinCcosC，即sinAcosAsinBcosBsinCcosC.根据二倍角公式，得sin2Asin2Bsin2C，sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)2sinCcosC，2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC.ABCABC，sin(AB)sinC0，cos(AB)cosC.cos(AB)cos(AB)0.2cosAcosB0cosA0或cosB0，即A90或B90.ABC是直角三角形点评：在三角形中，若边a，b，c是齐次式，可利用正弦定理转化为角的关系，然后利用三角恒等变换进行化简与转化10
9、在ABC中，A、B、C分别对应边a、b、c.(1)证明；(2)若bacosC，判定ABC的形状10答案：(1)证明：C(AB)，sinCsin(AB)sinCsin(AB)sin(AB)sin(AB)(sinAcosBcosAsinB)(sinAcosBcosAsinB)sin2Acos2Bcos2Asin2Bsin2A(1sin2B)(1sin2A)sin2Bsin2Asin2Asin2Bsin2Bsin2Asin2Bsin2Asin2B，.又由正弦定理，得，.(2)解：bacosC，由正弦定理，得sinBsinAcosC，B(AC)，sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosC，即sinAcosCcosAsinCsinAcosC.cosAsinC0.又A、C(0，)，cosA0，A.ABC是直角三角形
