1、第二章 平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功.其中不是向量的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：一个量是不是向量就是看它是否具备向量的两要素：大小和方向.既有大小又有方向，所以是向量；而只有大小没有方向，所以不是向量.答案：D2.下列命题中真命题的个数为( )两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线 若非零向量a与b共线，则a=b 四边形ABDC是平行四边形，则必有= ab，则a、b方向相同或相反A.0 B.1 C.2 D.3解
2、析：显然为假命题；中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以错；对；a可能为零向量，则ab，但零向量的方向为任意的，所以错.答案：B3.如图2-1-1的四边形ABCD中，=，则相等的向量是( )图2-1-1A.与 B.与C.与 D.与解析：判断出四边形ABCD为平行四边形即得出=.答案：D4.在O中，以O点为起点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )A.方向 B.大小 C.大小和方向 D.以上均不对解析：由于O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的.答案：B10分钟训练(强化类训练，可
3、用于课中)1.下列各命题中，正确命题的个数为( )若|a|=|b|，则a=b或a=-b 若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点 若a=b，b=c，则a=c 若ab，bc，则acA.4 B.3 C.2 D.1解析：|a|=|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量相等或反向，故此命题不正确；由=可得|=|且，由于可能是A、B、C、D在同一条直线上，故此命题不正确；正确；b=0时，ac不一定成立，命题不正确.答案：D2.以下说法中正确的是( )A.长度相等的两个向量一定是相等向量B.当且仅当两个向量所在的直线恰为同一直线时，这两个向量为共线向量C.零向量没有方向D.单位向量的长度一定是1
4、解析：相等向量不仅长度相等，而且方向相同，A错；共线向量所在直线可以相互平行，也可以是同一条直线，B错；零向量方向为任意方向，C错.答案：D3.如图2-1-2所示，D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，则图中，向量中共线的向量有( )图2-1-2A.1组 B.2组 C.3组 D.4组解析：与、与、与分别共线.答案：C4.在四边形ABCD中,若,且|,则四边形为_.解析：由梯形的定义及向量的概念判断.答案：梯形5.在四边形ABCD中，若=且|=|，则四边形为_.解析：=，四边形ABCD为平行四边形，又|=|.四边形ABCD为菱形.答案：菱形6.如图2-1-3，D、E、F分别为正ABC的各边中点
5、，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中：图2-1-3(1)找出与向量相等的向量；(2)是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？(3)与向量共线的向量有几个？(4)若ABC为任意三角形，以上几问的答案会发生变化吗？解析：由向量相等与向量共线的定义可知：(1)与相等的向量有、；(2)存在，例如、；(3)有7个，分别为、；(4)不会.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在下列命题中，正确的是( )A.若|a|b|，则ab B.若|a|=|b|，则a=bC.若a=b，则a与b共线 D.若ab，则a一定不与b共线解析：A错.因为向量有大小和方向两个要素，无法比较大小；B
6、错.相等向量不仅要模长相等，方向也要相同；C对.相等向量方向一定相同，因此共线；D错.因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以a与b有共线的可能.答案：C2.设O为ABC外心，则、是( )A.相等向量 B.平行向量C.模相等向量 D.起点相同的向量解析：O为ABC外心，OA=OB=OC，即|=|=|.答案：C3.在矩形ABCD中，AB=2AD，M、N分别为AB和CD的中点，则在以A、B、C、D、M、N六点中任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，相等向量有( )A.9对 B.11对 C.18对 D.22对解析：其中=；=；=；=.以上分别取相反向量(如变为)又有
7、4组.经计算，共有22对.答案：D4.如图2-1-4，点O是正六边形ABCDEF的中心，则在以A、B、C、D、E、F、O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，设与相等的向量个数为m，与模相等的向量个数为n，则m、n的值分别是( )图2-1-4A.3，23 B.3，11 C.3，24 D.以上都不对解析：(1)与方向相同的向量仅有、四个，而|，|=|=|，故m=3.(2)与的模相等的向量有两类：一是以O为起点，以正六边形的顶点为终点或以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有26-1=11个;还有六边形的六条边26=12个.答案：A5.下列命题中正确的是( )A.|a|=|
8、b|a=b B.|a|b|abC.a=bab D.aba=b解析：由向量相等的概念知A错,C对；向量不能比较大小，B错；向量平行不能推出相等，D错.答案：C6.一架飞机向西飞行100 km，然后改变方向向南飞行100 km，则飞机两次位移的和是_.解析：如图，令起点为A，向西飞行100 km到达B，由B向南飞行100 km到达C，则飞机两次飞行后的位移向量为，且|= km.答案： km7.如图2-1-5，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图2-1-5(1)与向量ED相等的向量为_;(2)若|=3，则向量的模等于_.答案：(1), (2)68.如图2-1-6,B、C、D是线段AE的四等分点
9、，分别以A、B、C、D、E为起点和终点，最多可以写多少个互不相等的非零向量？图2-1-6解：设|=1，则与方向相同，模为1的向量算一个向量，与方向相同，模为2的向量算一个向量,与方向相同，模为3的向量算一个向量，与方向相同，模为4的向量算一个向量，与方向相同，互不相等的向量共有4个.同理与方向相反，互不相等的向量共有4个.共8个.9.已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地什么地方？丁地距甲地多远？解：如图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知ABC为正三角形，AC=2 000 km.又ACD=45，CD=1 0002，ACD为等腰直角三角形，即AD=km，CAD=45.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地km.快乐时光 教授在考试当天突然宣布延期考试,有个学生立即理直气壮地站起来抗议,说延期会扰乱他温习其他科目的计划.教授立刻问，“你叫什么名字？”“我叫王大明”.王大明学生的口气有些软化.“好吧,王同学,我给你一个甲等，而且免你参加考试,因为你有胆量据理直言,这正是教育的最重要目的.”学生答道,“既然这样,那么,我的本名叫做李小华.”
