1、数学人教B必修2第二章2.1平面直角坐标系中的基本公式1理解实数和数轴上的点的对应关系以及实数与位移向量的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义2掌握数轴上、平面内两点间的距离公式与中点坐标公式1数轴上的基本公式(1)数轴的定义一条给出了_、_和_的直线叫做数轴，或者说这条直线上建立了_(2)向量的相关定义位移是一个既有大小，又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量从点A到点B的向量，记作.点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点，线段AB的长叫做向量的长度，记作|.数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量向量的坐标，用AB表示(3)数轴上的基本公式数轴上任意三点A，B，C，则AC_；设OBx2
2、，OAx1，则AB_；已知数轴上两点A，B，OBx2，OAx1，则两点A，B的距离公式是d(A，B)|AB|_.【做一做11】下列说法正确的是()A点M(x)位于点N(2x)的左侧B数轴上等长的向量是相等的向量C向量在数轴上的坐标ABBAD数轴是有方向的直线【做一做12】若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(9)，且ABBC2 012，则点C的坐标为_2平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离公式：d(A，B)_.(1)当x1x2，y1y2时，|AB|2(x2x1)2(y2y1)2实质上就是直角三角形的勾股定理若ABx轴或与x轴重合，则|AB|x2
3、x1|；若ABy轴或与y轴重合，则|AB|y2y1|.(2)两点间的距离与两点的顺序无关，即|AB|BA|.在直角坐标系中，只要两点位置确定了，即点的坐标定了，则它们之间的距离就可以计算出来(3)数轴上两点间的距离公式是平面直角坐标系中两点间的距离公式的特殊情况即当两点在同一坐标轴上时，平面直角坐标系中的两点就转化为数轴上的两点【做一做2】求下列两点间的距离：(1)A(1,0)，B(2,3)；(2)A(4,3)，B(7,1)；(3)A(3,0)，B(0,4)3中点公式(1)直线上的中点公式已知数轴上两点A(x1)，B(x2)，则线段AB的中点M的坐标为_设中点M的坐标为x0，则AMx0x1，M
4、Bx2x0.又AMMB，所以x0x1x2x0，所以2x0x1x2，即x0.(2)平面内中点公式已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)，则x_，y_.(1)平面内中点公式实际上为直线上中点公式的推广(2)重要结论：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，ABC的重心坐标为(x0，y0)，则【做一做3】已知点A(8，3)与B(5，3)关于点C对称，则点C的坐标是()A BC D1解析法的应用剖析：解析法是通过建立适当的坐标系，把几何问题转化成代数问题进行解决的解题方法用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后
5、的论证是否简捷原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零为此，常常有以下规律：将图形一边所在的直线或定直线作为x轴；若为对称图形则取对称轴为x轴或y轴；若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系(3)通过以上两个步骤，把几何问题转化为代数问题来求解2教材中的“？”如果数轴上的单位长取作1 cm，你能在数轴上标出数0.001，0.000 1和对应的点吗？你能说明在数轴上确实存在这些点吗？剖析：不能标出0.001,0.000 1和对应的点，因为数轴上的单位长取作1 cm，而
6、0.001,0.000 1“太小”了，是无理数，因此它们在数轴上不能准确标出数轴上的点与实数是一一对应的关系，即每给出一个点，一定有唯一的实数与之对应；反过来，每一个实数也有唯一的一个点与之对应，因此0.001，0.000 1，确实存在于数轴上题型一 数轴上的坐标运算【例1】求数轴上两点A(m)，B(m)所对应的向量的数量及长度分析：利用数轴上向量的数量及长度的公式计算即可反思：本题要区分好向量的数量与长度的概念，数量公式中两个坐标不能颠倒顺序，但长度公式中可以题型二 判断已知式子表示的几何意义【例2】根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义(1)|x2|1；(2)|x2|
7、1；(3)|x2|1.分析：结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可反思：可以发现，题目给出的是一些代数式子，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，通过此题可以体会数形结合的思想题型三 平面内两点间距离公式的应用【例3】已知AO是ABC中BC的中线，证明：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)分析：可以建立适当的坐标系，采用“解析法”，通过计算证明题中结论反思：本题用解析的方法证明了一个几何结论用解析法证题，首先，要正确合理地建立坐标系，给相关元素赋值，然后运用相关公式进行证明本题中的结论也可以说明平行四边形四条边的平方和等于其两条对角线的平方和题型四 平面内中点坐标公式的应用【例
8、4】已知ABCD的两个顶点分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标分析：平行四边形的对角线互相平分，交点为两个相对顶点的中点，利用中点公式解题反思：对于中点坐标公式要注意公式中各个字母的具体含义，还要从方程的角度来认识公式，要加深对“知二求一”的理解题型五 易错辨析【例5】求函数y的最小值错解：x211，1.又x24x8(x2)244，2.y3.函数y的最小值为3.错因分析：没有验证等号是否成立，而导致扩大了y的范围，实际上x是同步的，不能轻易分开若分别讨论，必须验证等号成立的条件是否满足题意【例6】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1，2)，
9、(3,1)，(0,2)，求平行四边形第四个顶点的坐标错解：设A(1，2)，B(3,1)，C(0,2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)，四边形ABCD为平行四边形，且由中点坐标公式得得点D的坐标为(4，1)，即平行四边形的第四个顶点的坐标为(4，1)错因分析：误认为平行四边形为四边形ABCD，其实还有四边形ABDC，四边形ACBD，由于考虑不全面而导致丢解1若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(2)，且ABCB0，则点C的坐标为()A5 B9 C3 D32(2011湖南高一期中)已知在ABC中，三个顶点的坐标分别为A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角
10、三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形3已知A(3)，B(2)两点，则AB_，|AB|_.4已知点M(2,2)平分线段AB，且A(x,3)，B(3，y)，则x_，y_.5已知点A(1,5)，B(1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD为平行四边形(ABCD四点逆时针排列)，求点D的坐标答案：基础知识梳理1(1)原点度量单位正方向直线坐标系(3)ABBCx2x1|x2x1|【做一做11】C【做一做12】2 0182【做一做2】解：(1)x11，x22，y10，y23，xx2x12(1)3，yy2y1303.d(A，B)3.(2)x14，x27，y13，y21，xx2x1743，yy2y1134.d
11、(A，B)5.(3)x13，x20，y10，y24，xx2x13，yy2y14.d(A，B)5.3(1)(2)【做一做3】B典型例题领悟【例1】解：向量的数量AB(m)m2m.向量的长度|(m)m|2m|【例2】解：如下图，B(1)，A(2)，C(3)(1)|x2|1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，|x2|1表示线段BC(不包括端点)(2)|x2|1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，|x2|1表示射线BO和射线CD(不包括端点)(3)|x2|1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，|x2|1表示点B(1)和点C(3)【例3】证明：如图所示，以BC边的中点为原点，直线BC所在直线
12、为x轴建立平面直角坐标系设C(c,0)，A(a，b)，则B(c,0)，|AB|2(ac)2b2，|AC|2(ac)2b2，|OA|2a2b2，|OC|2c2，所以|AB|2|AC|2(ac)2b2(ac)2b22(a2b2c2)，2(|AO|2|OC|2)2(a2b2c2)因此，|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)【例4】解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)E为AC的中点，3，4，解得x110，y16.又E为BD的中点，3，4，解得x211，y21.顶点C的坐标为(10,6)，顶点D的坐标为(11,1)【例5】正解：y，令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则y|PA|PB
13、|.求函数的最小值问题，转化为在x轴上求一点P，使得|PA|PB|取得最小值问题借助于光学的知识和对称的知识，如图所示，作出点A关于x轴的对称点A(0,1)，连接BA交x轴于点P，可知|BA|即为|PA|PB|的最小值即|BA|.ymin.【例6】正解：设A(1,2)，B(3,1)，C(0,2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)，(1)若四边形ABCD是平行四边形，则由中点坐标公式得解得点D的坐标为(4,1)(2)若四边形ABDC是平行四边形，则由中点坐标公式得解得点D的坐标为(4,5)(3)若四边形ACBD是平行四边形，则由中点坐标公式得解得点D的坐标为(2，3)综上所述，满足条件的第四个顶点的坐标为(4，1)或(4,5)或(2，3)随堂练习巩固1B2B355由于AB是向量的坐标，因此一定要用终点坐标减去起点坐标；|AB|是向量的长度，因此一定要求向量的数量的绝对值AB235；|AB|23|5|5.411“点M(2,2)平分线段AB”的含义就是点M是线段AB的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解点M(2,2)平分线段AB，2，2，解得x1，y1.5解：设点D(x，y)，A(1,5)，C(3,2)，AC的中点O的坐标为.由于点O也是BD的中点，解得故点D的坐标为(5,6)
