1、一、选择题1设a0，b0，则()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则a2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)3(2014哈尔滨模拟)已知数列an的通项公式为an|n13|，那么满足akak1ak19102的整数k()A有3个 B有2个C有1个 D不存在4若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy05.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，AOP(00)恒成立，则实数t的最大值是()A4 B7 C8 D9二、填空题7已知方程9x23x(3k1)0有两个实根，则实数k的取值范围为_8已知数
2、列an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_9设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)b0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若，求k的值 答案一、选择题1解析：选A对于选项A：因为a0，b0，若2a2a2b3b，必有2a2a2b2b.构造函数f(x)2x2x，则f(x)2xln 220恒成立，故函数f(x)2x2x在(0，)上单调递增，于是由f(a)f(b)，可得ab
3、，故A选项正确同理可知选项B、C、D均错误2解析：选B令F(x)f(x)(2x4)，则F(x)f(x)20，F(x)在(，)上为增函数又f(1)2，F(1)f(1)20.F(x)0的解集为(1，)即不等式f(x)2x4的解集为(1，)3 解析：选B由an|n13|可得，当k13时，akak1ak19(k13)(k12)(k6)20k70102，解得kN，不符合题意，舍去；当k1，所以不满足题意；当a5时，t2a19.所以实数t的值为9.二、填空题7解析：令3xt0，则方程化为t22t(3k1)0(t0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，解得k.故实数k的取值范围是.答案：
4、8解析：由an是递增数列，得anan1对nN*恒成立，即n2n(2n1)而(2n1)3，所以3.答案：(3，)9 解析：设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以F(x)0的解集是(，3)(0,3)(如图)答案：(，3)(0,3)三、解答题10 解：(1)因为f(x)x3bx，所以f(x)x2b.设切点为(x0，y0)，依题意得解得b3.(2)设h(x)f(x)x2mx3x23xm，则h(x)x22x3
5、(x1)(x3)令h(x)0，得x1或x3.在(0,3)上，h(x)0，故h(x)在(3，)上单调递增若使h(x)的图象在(0，)内与x轴有两个不同的交点，则需所以9m0，所以m的取值范围是9m0.由知，方程f(x)x2m在(0，)上有两个解x1、x2，所以满足0x13，那么x1x293(x1x2)(3x1)(3x2)0，所以x1x290，数列Sn是递增数列当n3时，(Sn)minS3，依题意，得m，m的最大值为.12 解：(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线的方程为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点
6、C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.第二讲 数形结合思想一、选择题1(2014江西模拟)定义在R上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)2x，则满足f(12x)f(3)的x的取值范围是()A(1,2) B(2,1)C1,2 D(2,12(
7、2014柳州模拟)已知函数f(x)e|x|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A(0,1) B(1，)C(1,0) D(，1)3当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围为()A(2,3 B4，)C(1,2 D2,4)4对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是()A2 B3C8 D15当0x，函数f(x)的最小值为()A4 B2C4 D26(2014中山模拟)已知函数yf(x)(xR)满足f(x2)2f(x)，且x1,1时，f(x)|x|1，则当x(0,10时，yf(x)与g(x)log4x的
8、图象的交点个数为()A11 B10C9 D8二、填空题7不等式x2logax0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0，函数f(x)x|xa|1(xR)(1)当a1时，求所有使f(x)x成立的x的值；(2)当a(0,3)时，求函数yf(x)在闭区间1,2上的最小值12设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2ln x，方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围答案一、选择题1解析：选A设x0，因为当x0时，f(x)2x，所以f(x)2x，又因为函数定义在R上
9、的偶函数f(x)，所以f(x)f(x)2x.所以当x0时，f(x)2x，如图所示因为f(12x)f(3)，所以|12x|3，解得1x2.2解析：选B方程f(x)k化为方程e|x|k|x|，令ye|x|，yk|x|，yk|x|表示斜率为1或1的平行折线系，折线与曲线ye|x|恰好有一个公共点时，有k1.如图，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，)3解析：选C设y1(x1)2，y2logax，则y1的图象为如图所示的抛物线要使对一切x(1,2)，y11，并且只需当x2时，logax1，即a2，所以1a2.4解析：选A分别画出yx3，yx，yx24x3三个函数的图象，
10、如图所示，得到三个交点A(0，3)，B(1,2)，C(5,8)函数f(x)的表达式为f(x)f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2.5解析：选Df(x)，它表示点(0,3)与点(sin 2x，cos 2x)连线的斜率，而点(sin 2x，cos 2x)在x时是圆x2y21的左半圆(不含端点)，数形结合可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时，斜率最小，即f(x)最小设切线方程为ykx3，则1k2或k2(舍)，故f(x)的最小值为2.6解析：选Cyf(x)(xR)满足f(x2)2f(x)，且x1,1时，f(x)|x|1，f(x)分别作出函数yf(x
11、)与g(x)log4x的图象如图由图象可知yf(x)与g(x)log4x的图象的交点个数为9个二、填空题7 解析：不等式x2logax0转化为x2logax，由图形知0a1且2loga ，所以a，所以a0，故f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)1，故命题正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，错误；因为f(x)在(0，)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f2a1a1，所以若f(x)0在上恒成立，则a10，即a1，故正确；由图象可知在(，0)上对任意x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确综上，正确的命题是.答案：三、解答题10解：f(x)g(x)，即a
12、x1，变形得x1a，令y，yx1a，变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1a的平行直线系设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan ，0，sin ，cos ，|OA|2tan226.要使f(x)g(x)在x4,0时恒成立，则所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1a6，即a5.所以实数a的取值范围是(，511 解：(1)因为x|x1|1x，所以x1或x1.(2)f(x)(其示意图如图所示)当0a1时，x1a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x1，所以函数yf(x)在区间1,2上递增，f(x)minf(1)2a；当1a
13、2时，当xa时函数f(x)minf(a)1；当2a3时，x2a，这时，f(x)x2ax1，对称轴是x，f(1)a，f(2)2a3.因为(2a3)aa30，所以函数f(x)minf(2)2a3.12解：x(0,1)时，g(x)x0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).(1)当a0时，方程F(x)a2不可能有4个解；(2)当a0，当x(，1)时，f(x)0时，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所示，从图象看出方程F(x)a2若有4个解，则a22a，所以实数a的取值范围是.一、选择题1等
14、比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或2. 已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1C1 D33正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A. B4C. D4或4a、b、c、d是空间的四条直线，如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab或cdBa、b、c、d中任何两条直线都不平行Cab且cdDa、b、c、d中至多有一对直线平行5设集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为()A，0 B.，0C.， D.，6若不等式(a2)x22(a2)x40，a
15、1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.9对于任意的两个正数m，n，定义运算：当m，n都为偶数或都为奇数时，mn；当m，n为一奇一偶时，mn，设集合A(a，b)|ab6，a，bN*，则集合A中的元素个数为_三、解答题10已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值11(2014南平质检)已知函数f(x)sin x，g(x)mx(m为实数)(1)求曲线yf(x)在点P处的切线方程；(2)求函数g
16、(x)的单调递减区间；(3)若m1，证明：当x0时，f(x)0，则f(a)2a，因为2a201，所以f(a)2无解；若a0，则f(a)a1，由f(a)2，即a12，解得a3，显然满足a0.综上所述，a3.3解析：选D当矩形长、宽分别为6和4时，体积V244；当长、宽分别为4和6时，体积V6.4 解析：选A(1)若a、b相交，必须确定一个平面，由题设知c，d，则cd；(2)若ab，则满足题设条件的直线c、d的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a、b异面，由ca，cb，得c平行或重合于a、b的公垂线，同理d也平行或重合于a、b的公垂线，于是cd.综上所述，ab或cd必有一个成
17、立5解析：选AA4,3当k0时，B，符合要求；当k0时，x.由ABA知BA，所以4或3，所以k或k，所以实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为，0.6解析：选C当a20即a2时，不等式为40，恒成立，所以a2；当a20时，则a满足解得2a2，所以a的取值范围是a|21，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意答案：9解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，6ab12，即2104866111395712，故符合题意的点(a，b)有25111个(2)当a，b为一奇一偶时，6ab36，即1363124936，故符合题意的点
18、(a，b)有236个综上所述，集合A中的元素共有17个答案：17三、解答题10 解：(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q，故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.11解：(1)由题意得所求切线的斜率kfcos.切点P，则切线方程为y，即xy1
19、0.(2)g(x)mx2.当m0时，g(x)0，则g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，令g(x)0，解得x，则g(x)的单调递减区间是(，)，(，)(3)当m1时，g(x)x.令h(x)xsin x，x0，)，h(x)1cos x0，则h(x)是0，)上的增函数故当x0时，h(x)h(0)0，即sin xx，f(x)b0)，则a2b21.当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是和，1，则1，即a22b4.由消去a得2b4b210.b21或b2(舍去)当b21时，a22，因此椭圆C的方程为y21.(2)当直线斜率不存在时，易求A，B，P(0,1)，所以，(1，1)，由t使，得t2，直线l的方
20、程为x1，当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x1，y11)，(x2，y21)，(1，1)，由，得即因为y1k(x11)，y2k(x21)，所以y1y2k(x1x22)，解得k1，此时，直线l的方程为yx1，联立得3x24x0，tx1x2，所以，当直线斜率存在时，t，直线l的方程为yx1，综上所述，存在实数t且t2时，直线方程为x1；当t时，直线l的方程为yx1.一、选择题1(2014汕头模拟)已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()A. B.C(0,3
21、 D3，)2若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B.C. D.3(2014佛山一检)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A9B10 C11D.4已知(cos 1,2sin 1)，(cos 2，2sin 2)，若(cos 1，sin 1)，(cos 2，sin 2)，且满足0，则SOAB等于()A. B1 C2 D45已知双曲线C：1的右支上存在一点P，使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线x(其中c2a2b2)的距离，则双曲线C离心率的取值范围是()A(1, B，)C(1, 1 D1，)6抛物线yx2上的所有弦都不能被直线ym(x3)垂
22、直平分，则常数m的取值范围是()A. B.C. D(1，)二、填空题7若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_8若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围是_9在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足 (xyz1)，则|OP|的最小值等于_三、解答题10已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的体积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长11已知函数f(x)x，g(x)aln x，其中x0，aR，令函数h(x)f(x)
23、g(x)(1)若函数h(x)在(0，)上单调递增，求a的范围；(2)当a取(1)中的最大值时，判断方程h(x)h(2x)0在(0,1)上是否有解，并说明理由12已知直线l1：4x3y60和直线l2：x(p0)若抛物线C：y22px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N.试问x轴上是否存在定点Q，使点Q在以MN为直径的圆上？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由答案一、选择题1解析：选D由函数f(x)x22x(x1)21，当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函数f
24、(x)的值域为1,3，当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，若满足题意则解得a3.2解析：选C构造函数f(x)xx，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f0，f0，所以ff0，即(2m1)(6m22m1)0，m.即当m0，4，a8，即实数a的取值范围是(，8答案：(，88解析：若在1,1内不存在c满足f(c)0，则即解得p3或p，取补集得3p0恒成立，函数(t)在(0,1)上单调递增，且(1)0.(t)22ln t0在(0,1)上无解即方程h(x)h(2x)0在(0,1)上无解12解：(1)当直线l1与抛物线无公共点时，由定义知l2为抛物线的准线，
25、抛物线焦点坐标为F.由抛物线定义知抛物线上的点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离所以2，则p2.当直线l1与抛物线有公共点时，把直线l1的方程与抛物线方程联立，消去x得关于y的方程2y23py6p0，由9p248p0且p0，得p，此时抛物线上的点到直线l2的最小距离为2，不满足题意所以抛物线C的方程为y24x.(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l的斜率存在，设为k，且k0，所以直线l的方程为yy0k(xx0)，代入y24x消去x得ky24y4y0ky0，由164k(4y0ky)0，得k，所以直线l的方程为yy0(xx0)令x1，又由y4x0得N.设Q(x1,0)，则(x0x1，y0)，.由题意知，即(x0x1)(1x1)0.把y4x0代入上式，得(1x1)x0xx120.因为对任意的x0等式恒成立，所以所以x11，即在x轴上存在定点Q(1,0)，使点Q在以MN为直径的圆上
