1、课后训练1已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为()A1 B2 C3 D42已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是()A B C6 D33设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为_4设x，y，zR,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_5在ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2) .6已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值7设a1a2anan1，求证：.8已知a，b，cR，且abc1，求的最大值已知函数f(x)(xa)2(xb)2(xc)2(a，b，cR)的最小值为m.若
2、ab2c3，求m的最小值参考答案1. 答案：C解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当时，右边等号成立所以x2y2z的最大值为3.2. 答案：B解析：由柯西不等式，得(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)2，即x2y2(1xy)2，当且仅当xy1xy，即xy时，x2y2(1xy)2取得最小值.3. 答案：6解析：由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，(x2y2z)24936.当且仅当，时，上式取得等号，当时，x2y2z取得最小值6.4. 答案：9解析：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9
3、.考虑以下两组向量：u(2,2,1)，v(x1，y2，z3)，由柯西不等式，得(uv)2|u|2|v|2；即2(x1)2(y2)(z3)2(x1)2(y2)2(z3)2(222212)，当且仅当x1，y4，z2时，等号成立所以(x1)2(y2)2(z3)2.5. 证明：，.原不等式成立6. 解：由柯西不等式，得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得5a2(3a)2，解得1a2.当且仅当时，等号成立即，时，amax2；b1，时，amin17. 证明：a1a2anan1，a1a20，a2a30，anan10，据柯西不等式有：(a1a2a2a3anan1).原不等式成立8. 解：由柯西不等式，得(121212)(4a14b14c1)34(abc)321当且仅当abc时，取等号故的最大值为.9. 解：因为f(x)(xa)2(xb)2(xc)23x22(abc)xa2b2c2a2b2c2，所以时，f(x)取最小值a2b2c2，即ma2b2c2.因为ab2c3，由柯西不等式，得12(1)222(a2b2c2)(ab2c)29，所以ma2b2c2，当且仅当，即，c1时，等号成立所以m的最小值为.
