1、第1章 空间向量与立体几何 知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有
2、序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.(3)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba
3、1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系设平面的法向量为在平面内找两个不共线的向量和建立方程组：解方程组，取其中的一组解即可。6.空间位
4、置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1l2u1u2u1u2l1l2u1u2u1u20直线l的方向向量为u，平面的法向量为nlunun0lunun平面，的法向量分别为n1，n2n1n2n1n2n1n2n1n20常用结论：1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.4.在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点
5、或N点不在平面ABC内.7.用向量方法求空间角与空间距离（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小（4）.求点面距的一般步骤：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量（5）.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量（6）. 点线距设直线l的单位方向向量为，设，则点P到直线l的距离 .
