1、课后导练基础达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,5),则此长方体外接球的体积为_.解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5,则对角线长为,那么球的体积为()3=.答案:2.已知点M的直角坐标为(1,4),则它的柱坐标为_.解析:设点M的柱坐标为(,z),则解之,得=2,=,z=4.点M的柱坐标为(2,4).答案:(2,4)3.设点M的柱坐标为(2,7),则它的直角坐标为_.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则点M的直角
2、坐标为(,1,7).答案:(,1,7)4.已知点M的球坐标为(2,),则它的直角坐标为_.解析:设M的直角坐标为(x,y,z),则点M的直角坐标为(-1,1,-).答案:(-1,1,)5.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A,B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,),B(R,)，飞机应该走怎样的航线最快?所走的路程有多远？解析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离.如图所示,因为A(R,),B(R,),可知O1AO=O1BO=
3、,AOO1=BOO1=.又EOC=,EOD=,COD=-=.COD=AO1B=.在RtOO1B中,O1BO=,OB=R,O1B=O1A=R.AO1B=,AB=R.在AOB中,AB=OB=OA=R,AOB=.则经过A,B两地的球面距离为R.走经过A,B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.综合运用6.已知点P的柱坐标为(,5)，点B的球坐标为(,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（ ）A.P点(5,1,1)，B点()B.P点(1,1,5)，B点()C.P点()，B点(1,1,5)D.P点(1,1,5)，B点()解析:由柱坐标和球坐标与空间直角坐标系的变换关系而得.答案:B7.已知M的直
4、角坐标为(1,1,),求它的球坐标.解:设M的球坐标为(r,),则r=2.由rcos=z,得2cos=.=.又tan=1,=.点M的球坐标为(2,).拓展探究8.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(,z)；在球坐标系中,需要找到(r,).解:把图中的钠原子分成下,中,上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在xOy平面上,它
5、们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,0),(,),(1,),(,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,0),(1,0),(,0)； 中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,0),(,arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,)； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,0),(,arctan,),(,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,1),(1,1),(,1).
