1、课堂探究探究一 用平面直角坐标系解决实际问题解决此类问题的关键是：如何建立平面直角坐标系，将几何位置量化，通过有关距离的知识求解另外，我们还要注意数形结合的思想方法的应用【例题1】已知B村庄位于A村庄的正西方向1 km处，原计划在经过B村庄且沿着北偏东60的方向上埋设一条地下管线l，但在A村庄的西北方向400 m处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100 m范围划为禁区试问，埋设地下管线l的计划需要修改吗？思路分析：解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线l的相对位置，如图以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要
2、求出点W到直线l的距离，则问题即可解决解：以A为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1 000,0)由W位于A的西北方向及|AW|400，得W(200，200)由直线l过点B且倾斜角为906030，得直线l的方程是xy1 0000.于是，点W到直线l的距离为d500100()114100，所以埋设地下管线l的计划不需要修改点评 合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确探究二 平面直角坐标系下的轨迹问题在解决能够判断曲线类型的
3、问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决【例题2】如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程思路分析：由曲线C上的点M满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用待定系数法来求其方程解：以O为坐标原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(坐标系略)，则A(2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得|MA|MB|PA|PB|()()2|AB|4.所以曲
4、线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2,2a2，所以a22，b2c2a22.故曲线C的方程为1.探究三 平面直角坐标系下的伸缩变换求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可求解【例题3】在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换思路分析：设出伸缩变换，代入2xy4中，与x2y2比较解：设满足条件的伸缩变换为将其代入第二个方程，得2xy4，与x2y2比较，将其变成2x4y4，比较系数得1，4.所以直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍即可得到直线2xy4.探究四 易错辨析易错点：混淆原曲线上的点和所求曲线的点【例题4】在平面直角坐标系中，求方程xy20所对应的图形经过伸缩变换后的图形错解：直线x8y40.错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x，y)的坐标适合变换后的曲线方程错解混淆了(x，y)和(x，y)的含义正解：由坐标伸缩变换得代入xy20，得2xy20，所以8xy80.故经过伸缩变换后，直线xy20变成直线8xy80.
