1、课堂导学三点剖析一、直线的参数方程和普通方程的互化【例1】 写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离.解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为,则tan=2,sin=,cos=,所以直线的参数方程是(t为参数). 经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以有1+t=3,即t=,即点M到点A的距离是. 而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为.温馨提示 本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点;把点B(8,
2、6)当成直线上的点很容易由1+t=8,得t=.各个击破类题演练 1设直线的参数方程为(t为参数),点P在直线上,且与点M0(-4,0)的距离为,如果该直线的参数方程改写成(t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为( )A.1 B.0 C. D.解析:由|PM0|=,知PM0=或PM0=,即t=,代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1);再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案:A变式提升 1设直线的参数方程为求直线的直角坐标方程.解:把t=代入y的表达式,得y=10-.化简得4x+3y-50=0.这即是直线的直角坐标方程.温馨提示 注意变量代换的方
3、法.二、直线的参数方程与倾斜角【例2】 设直线l1过点A(2,-4),倾斜角为.(1)求l1的参数方程;(2)设直线l2:x-y+1=0,l2与l1的交点为B,求|AB|.解：(1)由题意得即(t为参数).(2)B在l1上,只要求出B点对应的参数值t,则|t|就是B到A的距离.把l1的参数方程代入l2中,得(2-t)-(-4+t)+1=0,t=7,t=,t为正值,知|AB|=7(-1).类题演练 2求直线l1:(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离.解:l1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l1的参数方程改写成(t为参数).把l1的参数方程的标准形式代入x
4、+y-2=0中,得4+t+3+t-2=0.解得t=,|t|=.由|t|的几何意义为交点到点(4,3)的距离,所求的距离为|t|=.变式提升 2求经过点(1,1),倾斜角为135的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.解:由条件可知直线的参数方程是(t为参数),代入椭圆方程可得+(1+t)2=1,即5t2+t+2=0.设方程的两实根分别为t1、t2,则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=.三、直线的参数方程与两点间距离【例3】 直线过点A(1,3)且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点P(-2,-1)到此直线的距离.解：(1)由题意得参数方程为(
5、2)在直线上任取一点M(x,y),则|2=(x+2)2+(y+1)2=20t2-20t+25=20(t-)2+1,当t=时,|2取最小值,此时|等于点P与直线的距离,则|=.由P向直线作垂线,垂足记为P0,将参数t=代入,得P0(2,1),显然有|PP0|=.温馨提示 直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题,比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时,宜用直线的普通方程.类题演练 3已知直线l过点P(3,2),且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求|PA|PB|的值为最
6、小时的直线l的方程.解:设直线的倾斜角为,则它的方程为(t为参数),由A、B是坐标轴上的点,知ya=0,xb=0,0=2+tsin,即|PA|=|t|=,0=3+tcos,即|PB|=|t|=.故|PA|PB|=()=.90180,当2=270,即=135时,|PA|PB|有最小值.直线方程为(t为参数),化为普通方程即x+y-5=0.变式提升 3设直线l过点P(-3,3),且倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程;(2)设此直线与曲线C:(为参数)交于A、B两点,求|PA|PB|;(3)设A、B中点为M,求|PM|.解:(1)直线l的参数方程是(2)把曲线C的参数方程中参数消去,得4x2+y2-16=0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中,得4(-3-t)2+(3+t)2-16=0,即13t2+4(3+)t+116=0.由t的几何意义,知|PA|PB|=|t1t2|,|PA|PB|=|t1t2|=.(3)由t的几何意义知中点M的参数为,|PM|=|t1+t2|=.
