1、培优课直线与椭圆的位置关系A级必备知识基础练1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.02.直线y=x+1被椭圆=1截得的弦的中点的坐标是()A.B.C.-D.-,-3.(2022四川成都蓉城名校联盟高二期中)直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为()A.B.1C.D.24.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:=1(ab0)截得的弦长为2 023,则下列直线被椭圆C截得的弦长一定为2 023的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+35.已知F1(
2、-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为.6.若P,Q是椭圆C:=1上的动点,则|PQ|的最大值为.B级关键能力提升练7.已知椭圆=1(0b0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为.11.(2022云南昆明一中高二期中)已知椭圆C:=1(ab0)的焦距是2,长轴长是4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1(-,0)作斜率为的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(,0)是椭圆的右焦点,求F2MN的面积.C级学科素养创新练12.(2
3、022四川阆中中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知直线l:x-y+2=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?参考答案培优课直线与椭圆的位置关系1.C因为直线过定点(3,-1)且b0)关于原点、x轴、y轴对称,直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,选项A,C,D中的直线被椭圆C:=1(ab0)截得的弦长一定为2023,故选ACD.5.=1设椭圆C的标准方程为=1(ab0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A
4、,B两点,且|AB|=3,所以.又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为=1.6.4由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.7.D由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.|AF2|+|BF2|的最大值为5,|AB|的最小值为3.当且仅当ABx轴时,|AB|取得最小值,此时两交点坐标为-c,-c,-,代入椭圆方程可得=1,利用c2=4-b2,0b2,解得b=.8.B依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1
5、)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.9.-依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45(x-1),即y=x-1.将y=x-1代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.所以两个交点坐标为(0,-1),所以=(0,-1)=-.10.-9易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,得xM=-,yM=kxM+b=,故直线OM的斜率kOM=-,则kOMk=-
6、9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.11.解(1)因为所以所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由题意可知直线MN的方程为y=(x+),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程可得5x2+8x+4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.所以|MN|=.又因为F2(,0)到直线MN的距离d=,所以F2MN的面积为S=.12.解(1)由题意可得解得所以椭圆的标准方程为=1.(2)设平行于直线l的直线l的方程为x-y+m=0.联立消去y得3x2+4(x+m)2=12,即7x2+8mx+4m2-12=0,由=(8m)2-47(4m2-12)=0,解得m1=-或m2=.结合图象(图略)可知当m1=-时,直线l:x-y-=0与椭圆的交点是椭圆C上到直线l的距离最远的点,此时直线l与直线l间的距离为d=,所以在椭圆C上存在点到直线l的距离最大,最大距离为.
