1、课堂导学三点剖析一、椭圆的度量性质【例1】已知平面与一圆柱的母线成60角,那么该平面与圆柱截口图形的离心率是( )A. B.1 C. D.解析：平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率e=cos60=.答案:D温馨提示 椭圆是圆柱与平面的截口,因此,椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关.二、探讨椭圆的性质【例2】如图3-2-2,已知球O1、O2分别切平面于点F1、F2.G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2垂直平分,求证:F1F2=.图3-2-2证明：过G1作G1HBG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.G1H=AB.Q1、Q2分别是P1、P2的平行射影,P1Q1P2Q2
2、.P1Q1Q2P2是平行四边形.Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=BH,G2F1-G2F2=G2B-BH.F1F2=G2H.在RtG1G2H中,G2H=.温馨提示 探究圆柱体的斜截口椭圆的性质,要仔细考查Dandlin双球与圆柱及其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形,以及平行射影的性质等等.三、数形结合椭圆的解析性质【例3】已知圆柱底面半径为,平面与圆柱母线夹角为60,在平面上以G1G2所在直线为横轴,以G1G2中点
3、为原点,建立平面直角坐标系,求平面与圆柱截口椭圆的方程.解：过G1作G1HBC于H.圆柱底面半径为,AB=.四边形ABHG1是矩形,AB=G1H=.在RtG1G2H中,G1G2=4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径,椭圆的标准方程为=1.图3-2-4各个击破类题演练1已知圆柱的底面半径为r,平面与圆柱母线的夹角为60,则它们截口椭圆的焦距是( )A. B. C. D.3r解析:如图3-2-1,过G2作G2HAD,H为垂足,则G2H=2r.图3-2-1在RtG1G2H中,G1G2=2r2=4r,长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.焦距2c=2.答案:A类题演练2如图3-2-3,设两焦点的距离F
4、1F2=2c,两端点距离G1G2=2a,截面与圆柱母线的二面角为.求证:P到F1的距离与到l1的距离之比等于,即e=cos=.图3-2-3证明:过G1作G1HBC于H,则G1A=BH.由切线长定量得G2F1=G2B, G1A=G1F1=G2F2,G2F1-G2F2=G2B-BH.G2H=F1F2=2c.在PQK1和G2G1H中,QPK1=G1G2H=,QK1P=G1HG2=90,PQK1G2G1H.=cos=e.又由内切线长定理得PK1=PF1,=cos=e.类题演练3在例3题设下,截面与、交线各为l1、l2,如图3-2-4,求l1、l2的方程.解析:设P是椭圆的顶点.过P作PQl1于Q.过P作平面的垂线,垂足为K1,连结K1Q.OP=,OF1=,PF1=2.由切线长定理,PK1=PF1.在RtPK1Q中,PQ=4.又OE=PQ,OE=4.l1的方程为x=-4,l2的方程为x=4.温馨提示 椭圆的平面坐标系内的解析方程及解析性质来源于几何性质,它们是统一的,是从不同侧面对它的描述.
