1、一平行线等分线段定理1理解并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算3会用三角形中位线定理解决问题1平行线等分线段定理文字语言如果一组_在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的_也相等符号语言已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A，B，C，且ABBC，则AB_图形语言变式图形作用证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截(2)平行线的条数还可以更
2、多，可以推广(3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行可以证明这一命题是错误的(如图)【做一做1】如图所示，l1l2l3，直线a分别与l1，l2，l3相交于A，B，C，且ABBC，直线b分别与l1，l2，l3相交于A1，B1，C1，则有()AA1B1B1C1 BA1B1B1C1CA1B1B1C1 DA1B1与B1C1的大小不确定2推论1文字语言经过三角形一边的_与另一边平行的直线必_第三边符号语言在ABC中，D为AB的中点，过D作DEBC，交AC于E，则E平分_图形语言作用证明线段相等，求线段的长度三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，
3、并且等于第三边长的一半【做一做2】如图所示，DE是ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有()AAGGF BAGGFCAGGF DAG与GF的大小不确定3推论2文字语言经过梯形一腰的_，且与底边_的直线平分另一腰符号语言在梯形ABCD中，ADBC，E为AD的中点，过E作EFBC，交CD于F，则F平分_图形语言作用证明线段相等，求线段的长度梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半【做一做3】如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADBC10 cm，E为AB的中点，点F在DC上，且EFAD，则EF的长为()A5 cm B10 cm C20 cm D不确定答案：
4、1平行线相等线段BC【做一做1】Al1l2l3，ABBC，A1B1B1C1.2中点平分AC【做一做2】BDE是ABC的中位线，在ABF中，DGBF，又ADDB，G平分AF，即AGGF.3中点平行CD【做一做3】A由推论2知，EF是梯形ABCD的中位线，则EF(ADBC)105(cm)平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析：(1)推论1：如图，在ABC中，B为AB的中点，过B作BCBC交AC于点C，求证：C是AC的中点证明：如图，过A作直线aBC，BCBC，aBCBC.又ABBB，ACCC，即C是AC的中点(2)推论2：如图，已知在梯形ACCA中，AACC，B是AC的中点，过B作BBCC交AC于
5、点B，求证：B是AC的中点证明：如图，AACC，BBCC，AABBCC.又ABBC，ABBC，即B是AC的中点题型一 任意等分已知线段【例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明分析：利用平行线等分线段定理来作图反思：将已知线段AB分成n等份的步骤：(1)作射线AC(与AB不共线)；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1D1D2D2D3Dn1Dn；(3)连接DnB；(4)分别过点D1，D2，D3，Dn2，Dn1作DnB的平行线，分别交AB于点A1，A2，An2，An1，则点A1，A2，An2，An1将线段AB分成n等份题型二 证明线段相等【例题2】如图，已知A
6、CAB，DBAB，O是CD的中点，求证：OAOB分析：由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明OAB是等腰三角形即可反思：平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时要先构造线段的中点题型三 三角形中位线性质的应用【例题3】如图，梯形ABCD中，ABDC，E为AD的中点，EFBC，求证：BC2EF.分析：由于EFBC，联系所证明的结果是BC2EF，由此想到三角形中位线定理，过A作BC的平行线即可实现反思：(1)如果已知条件中出现中点，那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明，过E作DC的平行线即可答案：【例题1】作法：(1)
7、作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1D1D2D2D3D3D4D4D5；(3)连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分证明：过点A作MND5B.则MND4A4D3A3D2A2D1A1D5B，AD1D1D2D2D3D3D4D4D5，AA1A1A2A2A3A3A4A4B.点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点【例题2】证明：过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示ACAB，DBAB，OEACDB.又O为CD的中点，E为AB的中
8、点，又OEAB，OAB是等腰三角形，OAOB.【例题3】证明：如图所示，过A作BC的平行线AG，交DC于点G.又ABDC，四边形ABCG是平行四边形AGBC，AGBC.又EFBC，EFAG.E为AD的中点，F是DG的中点EFAG.EFBC，即BC2EF.1如图，在ABC中，D，E三等分AB，DFBC，EGBC，分别交AC于F，G，若AC15 cm，则FC_cm.2如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC6，E，F分别为对角线BD，AC的中点，则EF_.3如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，M是CD的中点，求证：AMBM.4如图所示，已知线段AB，求作AB的三等分点5如图所
9、示，ACAB，BDAB，AD与BC交于点E，EGAB，AEED，F是ED的中点，求证：FGFB答案：110DFBC，EGBC，DFEGBC.由已知，得ADDEEB，AFFGGC.又AC15 cm，FGGCAC5 cm.FCFGGC10 cm.22如图所示，过E作GEBC交BA于G.E是DB的中点，G是AB的中点又F是AC的中点，GFBC，G，E，F三点共线，GEAD1，GFBC3.EFGFGE312.3证明：过点M作MEBC交AB于点E，ADBC，ADEMBC.又M是CD的中点，E是AB的中点ABC90，ME垂直平分AB.MAMB.4作法：如图所示，(1)作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1D1D2D2D3；(3)连接D3B；(4)分别过D1，D2作D3B的平行线D1A1，D2A2，分别交AB于A1，A2，则点A1和A2就是线段AB的三等分点5分析：转化为证明FGB是等腰三角形证明：过F作FHAB于点H，如图所示则ACEGFHBD.AEED，F是ED的中点，AEEFFD，AGGHHB.又FHBG，FGB是等腰三角形，FGFB.
