1、综合质量评估 (第一至第四讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016唐山高二检测)设函数f(x)=,则使f(x)1的自变量x的取值范围是()A.(-,-20,4B.(-,-20,1C.(-,-21,4D.-2,01,4【解析】选A.当x1时,由(x+1)21得x-2或0xb2B.ab+ab+abC.0,-,则下列各式恒成立的是()A.bcadC.D.【解析】选B.对-两边同乘以-ab,由-abad.3.(2016聊城高二检测)“a0且b0”是“”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充
2、要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a0且b0,可得,反之若.则a0且b0,不一定是“a0且b0”.故选A.4.若P=,Q=-,R=-,则P,Q,R的大小顺序是()A.PQRB.PRQC.QPRD.QRP【解析】选B.P=,Q=-=,R=-=.因为2+,所以PRQ.5.若a,bR,则不等式|a|+|b|a+b|中等号成立的充要条件是()A.ab0B.ab0C.ab0,则|a|+|b|=|a+b|;若ab|a+b|.6.(2016中山高二检测)若关于x的不等式|x-1|+|x-2|a2+a+1(xR)恒成立,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(-,-1)(0,+)C.(-,-1
3、)D.(-1,0)【解析】选D.根据绝对值不等式的意义知|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,所以,不等式|x-1|+|x-2|a2+a+1(xR)恒成立,等价于a2+a+11,解得-1a0,A=,B=+,则A与B的大小关系为()A.ABB.A+=A.【补偿训练】设x0,y0,若P=,Q=+,则P,Q的大小关系是()A.P=QB.PQ【解析】选B.因为x0,y0,所以P=+=Q.8.(2016南昌高二检测)不等式|x-1|+|x-2|3的解集是()A.x|x1或x2B.x|1x2C.x|x0或x3D.x|0x3【解析】选C.由x1时,原不等式可化为-(x-1)-(x-2)3,得x
4、0.因此x0.当1x0,|x|,|y|,|z|=,则|2x-y+3z|的最大值为.【解析】根据绝对值不等式的性质,所以|2x-y+3z|2|x|+|y|+3|z|.所以|2x-y+3z|的最大值为.答案:10.(2016盐城高二检测)已知实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),则x2+y2+z2的最小值为.【解析】根据柯西不等式可知,(x2+y2+z2)(1+4+9)(x+2y+3z)2=a2,所以x2+y2+z2.答案:11.若abc,nN,且+恒成立,则n的最大值是.【解析】因为abc,且+恒成立,于是n+恒成立.因为+=+=2+2+2=4.所以n的最大值是4.答案:412.请补
5、全用分析法证明不等式“ac+bd”时的推论过程:要证明ac+bd(1),只要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即要证:a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即要证a2d2+b2c22abcd,(2).【解析】根据分析法的原理,及后续证明提示,可知在(1)处需要对ac+bd的正负讨论;对于(2)处需要考虑前面证明步骤成立的条件,及结论的写法.答案:(1)当ac+bd0时,命题成立.当ac+bd0时(2)因为(ad-bc)20,所以a2d2+b2c22abcd,所以命题成立三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
6、步骤)13.(10分)(2016福州高二检测)已知函数f(x)是R上的增函数,a,bR.(1)若a+b0,求证:f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.【解析】(1)因为a+b0,所以a-b,已知f(x)是R上的增函数,所以f(a)f(-b),又a+b0b-a.同理f(b)f(-a),两式相加,可得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(2)(1)中命题的逆命题成立.逆命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.下面用反证法证明,设a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,故有a+b0成立
7、.从而逆命题成立.14.(10分)(2016天津高二检测)正数x,y满足+=1.(1)求xy的最小值.(2)求x+2y的最小值.【解析】(1)由1=+2得xy36,当且仅当=即y=9x=18时取等号.故xy的最小值为36.(2)由题意可得x+2y=(x+2y)19+19+2=19+6.当且仅当=,即9x2=2y2时取等号.故x+2y的最小值为19+6.15.(10分)(2016天津高二检测)等腰RtAOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P点分别作三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形,求这三个三角形的面积和的最小值.【解题指南】本题需建立直角坐标系,设出P点的坐标,确定三角形面
8、积和的函数,再应用柯西不等式求解.【解析】以OA,OB分别为x轴、y轴,建立直角坐标系,如图.则AB的直线方程为x+y=1.设P的坐标为(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=+(1-xP-yP)2,所以2S=+(1-xP-yP)2.由柯西不等式,得+(1-xP-yP)2(12+12+12)(xP+yP+1-xP-yP)2=1,所以32S1,所以S.当且仅当=时,等号成立,即xP=yP=时,面积S最小,且最小值为.16.(10分)(2016长安高二检测)已知a,b,cR,a2+b2+c2=1,|x-1|+|x+1|(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.
9、【解析】因为a,b,cR,a2+b2+c2=1,由柯西不等式得,(a-b+c)2(a2+b2+c2)(1+1+1)=3,|x-1|+|x+1|(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,等价于|x-1|+|x+1|3,解得x-或x.所以实数x的取值范围为.17.(10分)已知函数f(x)=|x+2|-|2x-2|.(1)解不等式f(x)-2.(2)设g(x)=x-a,对任意xa,+)都有g(x)f(x),求a的取值范围.【解题指南】(1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f(x)-2的解集,再取并集,即得所求.(2)作出f(x)的图象,数形结合求得满足xa,+)时g(x)f(x)的a的取值范
10、围.【解析】(1)对于f(x)-2,当x-2时,不等式即x-4-2,即x2,所以x;当-2x1时,不等式即3x-2,即x-,所以-x1;当x1时,不等式即-x+4-2,即x6,所以1x6.综上,不等式的解集为.(2)f(x)=|x+2|-|2x-2|=函数f(x)的图象如图所示:因为g(x)=x-a,表示一条斜率为1且在y轴上的截距等于-a的直线,当直线过(1,3)点时,-a=2.当-a2,即a-2时,恒有g(x)f(x)成立.当-a-2时,令f(x)=g(x),即-x+4=x-a,求得x=2+,根据对任意xa,+)都有g(x)f(x),所以a2+,即a4.综上可得,a-2或a4.18.(10
11、分)(2016南京高二检测)已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn.(2)设数列an的通项an=loga,(其中a0,且a1),记Sn为数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.【解析】(1)设数列bn的公差为d,由题意得所以bn=3n-2.(2)由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga+loga=loga,而logabn+1=loga.于是,比较Sn与logabn+1的大小,即比较(1+1)与的大小.取n=1,有(1+1)=.取n=2,有(1+1)=.由此猜想:(1+1).(*)下面用数学归纳法证明:当n=1时,已验证(*)成立.假设n=k(k1,kN+)时,(*)成立,即(1+1),则当n=k+1时,(1+1)=.因为-=0,所以(3k+2)=.从而(1+1),即当n=k+1时(*)也成立.由与知,(*)对任意正整数n都成立.所以,当a1时,Snlogabn+1,当0a1时,Snlogabn+1.
