1、2015-2016学年天津市五区县高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1用反证法证明“如果a3b3，则ab”，假设的内容是（）AabBa=bCabDab2在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是（）A1+2iB2+iC2iD2i3观察式子：1+，1+，则可归纳出式子为（）A（n2）B1+（n2）C1+（n2）D1+（n2）4在回归分析中，下列说法错误的是（）A用线性回归模型近似真实模型可产生误差BR2越大，模型的拟合效果越好C残差平方和越小，模型的拟合效果越好DR2越大，残差平方和也越大5阅读如图所
2、示的程序框图，运行相应程序，若输入k的值是4，则输出S的值是（）ABCD16类比a（b+c）=ab+ac得到下列结论：lg（a+b）=lga+lgb；sin（+）=sin+sin；（+）=+；A（BC）=（AB）（AC）以上结论全部正确的选项是（）ABCD7若复数（m25m+6）+（m23m）i是纯虚数，则实数m的值是（）A2B3C2或3D1或68如图，四边形ABCD内接于O，AD是O的直径，若CBE=70，则圆心角AOC=（）A110B120C130D1409某研究中心为研究运动与性别的关系得到22列联表如表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男生602080女生101020合计7030100则随机
3、变量K2的观测值约为（）A4.762B9.524C0.0119D0.023810若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 （）ABCD二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11若z（1i）=2+i（i为虚数单位），则复数z=12如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为C、D、E若AC=6，DE=4，则CD的长为13在等差数列an中，若m+n=2p（m，n，pN*），则am+an=2ap类比上述结论，在等比数列bn中，若m+n=2p，则得到的结论是14已知f（n+1）=，f（1）=1（nN*），猜想f（n）的表达式为15阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则
4、输入的实数x的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知复数z=1+i（i为虚数单位）（1）设=z2+34，求|；（2）若=2i，求实数a的值17已知函数f（x）=x2+x+a（aR）（1）当a=1时，解不等式f（x）3；（2）若f（x）3恒成立，求a的取值范围18已知xy0，m0（1）试比较与的大小；（2）用分析证明：（2）119已知函数f（x）=|2x1|m，且不等式f（x）0的解集为0，1（1）求实数m的值；（2）若a0，b0，且+=m，求a+b的最小值20如图，PA切O于点A，PBC是割线，弦CDAP，AD交BC于点E，F在CE上
5、，且ED2=EFEC（1）求证：EDF=P；（2）若CE：EB=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长附加题（本大题共30分）21设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，求22证明不等式：（1）a2+b2ab+a+b1；（2）若a0，b0，则23如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，BAC=30，PB交圆O于点D（1）求APC的大小；（2）若PA=，求PD的长2015-2016学年天津市五区县高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1用反证法证明“如果a3b3，则ab”，假设的内容是（）AabBa
6、=bCabDab【考点】反证法与放缩法【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证命题的否定成立，求得命题：“ab”的否定，可得结论【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证命题的否定成立，而命题：“ab”的否定为：“ab”，故选：D2在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是（）A1+2iB2+iC2iD2i【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据向量，复数的几何意义，结合点的对称性进行求解即可【解答】解：向量对应的复数是2+i，即A（2，1），点A关于虚轴的对称点为B（2，1），则向量对应的复数是2+i，故选：B3观察式子：1+
7、，1+，则可归纳出式子为（）A（n2）B1+（n2）C1+（n2）D1+（n2）【考点】归纳推理【分析】根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案【解答】解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；故选C4在回归分析中，下列说法错误的是（）A用线性回归模型近似真实模型可产生误差BR2越大，模型的拟合效果越好C残差平方和越小，模型的拟合效果越好DR2越大，残差平方和也越大【考点】回归分析【分析】根据回归模型
8、的性质，可判断A的真假，根据数据的残差越小，其模型拟合的精度越高，R2越大，模型的拟合效果越好，可判断B、C的真假，由此得出结论【解答】解：对于A，用线性回归模型近似真实模型，可能产生误差，正确；对于B，在回归分析中，R2越大，模型的拟合效果就越好，正确；对于C，回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果就越好，正确；对于D，回归分析中，R2越大，残差平方和就越小，原命题错误故选：D5阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，若输入k的值是4，则输出S的值是（）ABCD1【考点】程序框图【分析】根据程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值【解答】解：根据程序框图的运行过程，得；该程序运行
9、后输出的是S=+=1+=则输出S的值是故选：B6类比a（b+c）=ab+ac得到下列结论：lg（a+b）=lga+lgb；sin（+）=sin+sin；（+）=+；A（BC）=（AB）（AC）以上结论全部正确的选项是（）ABCD【考点】类比推理【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：lg（ab）=lga+lgb，不正确；sin（+）=sincos+cossin，不正确；（+）=+，向量的乘法满足分配律，正确；（1）假设x属于A（BC），则x属于A且x属于BC，所以x属于B或x属于C，这样x属于AB或x属于AC，所以x属于（AB）（AC），所以左边集合属于右边集合；（2）假设x属
10、于（AB）（AC），则x属于AB或x属于AC，若x不属于B，则x属于AC，进而x属于A（BC）；若x不属于C，则x属于AB，进而x属于A（BC）所以x属于A（BC）所以右边集合属于左边集合由（1），（2），有左边属于右边，且右边属于左边，所以左边=右边A（BC）=（AB）（AC），正确故选：B7若复数（m25m+6）+（m23m）i是纯虚数，则实数m的值是（）A2B3C2或3D1或6【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据纯虚数的定义进行求解即可【解答】解：若复数 （m25m+6）+（m23m）i 是纯虚数，则，即，则m=2，故选：A8如图，四边形ABCD内接于O，AD是O的直径，若CBE=
11、70，则圆心角AOC=（）A110B120C130D140【考点】圆周角定理【分析】利用补角的定义、圆内接四边形的性质求得圆周角ADC=70，然后根据OD=OC可得OCD=ADC=70，即可求得AOC的度数【解答】解：CBE=70，CBE+CBA=180，CBA=110；又CBA+ADC=180（圆的内接四边形中对角互补），ADC=70；AD是O的直径，OD=OC，OCD=ADC=70AOC=OCD+ADC=140故选：D9某研究中心为研究运动与性别的关系得到22列联表如表：喜欢数学课不喜欢数学课合计男生602080女生101020合计7030100则随机变量K2的观测值约为（）A4.762B
12、9.524C0.0119D0.0238【考点】独立性检验的应用【分析】根据所给数据，代入公式计算得出K2值，即可求得结论【解答】解：由题意，K2=4.762故选：A10若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 （）ABCD【考点】基本不等式【分析】根据已知条件可得 （x+y）2=1+xy再由 xy，可得（x+y）2，由此可得x+y的最大值【解答】解：实数x，y满足x2+y2+xy=1，即（x+y）2=1+xy再由 xy，可得（x+y）2=1+xy1+，解得（x+y）2，x+y，故 x+y的最大值为=，故选：A二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分）11若z（1i）=2
13、+i（i为虚数单位），则复数z=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z（1i）=2+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由z（1i）=2+i，得=故答案为：12如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为C、D、E若AC=6，DE=4，则CD的长为2【考点】直角三角形的射影定理【分析】证明DEAC，利用平行线的性质，可得=，设AD=x，则AB=3x，由射影定理可得AD，BD，再由射影定理可得CD【解答】解：ACBC，DEBC，DEAC，AC=6，DE=4，=，设AD=x，则AB=3x，由射影定理可得36=x3x，x=2，BD=4由射影定理可得CD=2故答案为
14、：213在等差数列an中，若m+n=2p（m，n，pN*），则am+an=2ap类比上述结论，在等比数列bn中，若m+n=2p，则得到的结论是若m+n=2p（m，n，pN*），则bmbn=bp2【考点】类比推理【分析】结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，即可得出结论【解答】解：类比上述性质，在等比数列bn中，则有若m+n=2p（m，n，pN*），则bmbn=bp2，故答案为：若m+n=2p（m，n，pN*），则bmbn=bp214已知f（n+1）=，f（1）=1（nN*），猜想f（n）的表达式为f（n）=【考点】归纳推理【分析】根据题意，f（1）=1，依
15、次求出f（2）、f（3）、f（4），进而可以发现规律，得到答案【解答】解：根据题意，f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（4）=，可以归纳f（n）为分数，且其分子为2不变，分母为n+1；即f（n）=，故答案为：f（n）=15阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是2，1【考点】选择结构【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围【解答】解：由程序框图可得分段函数：令，则x2，1，满足题意；故答案为：2，1三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知复数z=1+i（i为虚数单位）（1）设=z2+
16、34，求|；（2）若=2i，求实数a的值【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】（1）由复数z=1+i，得，把z和代入=z2+34化简再由复数求模公式计算得答案；（2）直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数相等的充要条件列方程组，求解即可得答案【解答】解：（1）由复数z=1+i，得则=z2+34=（1+i）2+3（1i）4=1+2i1+33i4=1i，故|=；（2）=2i，由复数相等的充要条件得：，解得a=317已知函数f（x）=x2+x+a（aR）（1）当a=1时，解不等式f（x）3；（2）若f（x）3恒成立，求a的取值范围【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法【分析】（1）解不等
17、式x2+x+13即可；（2）问题转化为ax2x+3恒成立，设g（x）=x2x+3，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）由题意，x2+x+13，即x2+x20，（x+2）（x1）0，解得：x1，或x2，不等式的解集为x|x1，或x2；（2）由题意x2+x+a3，即ax2x+3恒成立，设g（x）=x2x+3，则g（x）的最大值为g（）=，a18已知xy0，m0（1）试比较与的大小；（2）用分析证明：（2）1【考点】综合法与分析法(选修）【分析】（1）利用作差法，比较与的大小；（2）直接利用分析法的证明步骤，找出不等式成立的充分条件即可【解答】（1）解：因为=，xy0，m0所
18、以m（yx）0，x（x+m）0 所以0，即0，所以（2）证明：要证用分析证明：（2）1，只需2（）21，只需（）22+10，即（1）20，因为x，y0，且（1）20成立，所以（2）119已知函数f（x）=|2x1|m，且不等式f（x）0的解集为0，1（1）求实数m的值；（2）若a0，b0，且+=m，求a+b的最小值【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式【分析】（1）求出不等式的解集，得到关于m的方程，解出m的值即可；（2）a+b=（a+b）（+），根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可【解答】解：（1）由已知得|2x1|m0，所以|2x1|m，即m2x1m，解得：x，因为不等式f（x）0的
19、解集为0，1，所以，解得m=1（2）由（1）知+=1，所以a+b=（a+b）（+）=+（+），因为a0，b0，所以+2=，当且仅当=，即a=b时取等号，因为+=1，此时a=，b=，所以a+b+，即a+b的最小值为+20如图，PA切O于点A，PBC是割线，弦CDAP，AD交BC于点E，F在CE上，且ED2=EFEC（1）求证：EDF=P；（2）若CE：EB=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（1）根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论（2）求出EB，
20、根据相交弦定理得到AE，利用三角形相似求出PE，再利用切割线定理求出PA【解答】证明：（1）DE2=EFEC，DE：CE=EF：EDDEF是公共角，DEFCEDEDF=CCDAP，C=PP=EDF解：（2）设CE=3k，EB=2k，由ED2=EFEC，DE=6，EF=4，得CE=9，EB=6 由相交弦定理有AEDE=CEBE，可得AE=9 由（1）知C=P，且CED=AEP，CEDPEA，PE=，PB=PE，由切割线定理得（）=，解得PA=附加题（本大题共30分）21设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，求【考点】复数的基本概念；复数求模【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，
21、化简（3+4i）z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求【解答】解：设z=a+bi，（a，bR），由|z|=1得；（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=3a4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a4b=0，22证明不等式：（1）a2+b2ab+a+b1；（2）若a0，b0，则【考点】不等式的证明【分析】利用基本不等式，即可证明结论【解答】证明：（1）a2+b22ab，a2+12a，b2+12ab，三式相加，可得2a2+2b22ab+2a+2b2，a2+b2ab+a+b1； （2）a0，b0，a+b0且 a2+b22ab 2（a2+b2）（a+b）2（a2+b2）（a+b）2 （当且仅当a=
22、b时等号成立） 23如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，BAC=30，PB交圆O于点D（1）求APC的大小；（2）若PA=，求PD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由切线性质得BAP=90，PA=PC，由此能求出APC=60（2）由已知条件得到AC=PA=，ACB=90，由此利用切割线定理能求出PD【解答】解：（1）PA是O的切线，AB为O的直径，BAP=90BAC=30，CAP=PABCAB=60PA、PC是O的切线，PA=PC，PAC是等边三角形APC=60（2）PAC是等边三角形，AC=PA=，AB是O的直径，ACB=90连接BC，在直角ABC中，BAC=30，AB=2，在直角PAB中，PB=7，PA是O的切线，PA2=PDPB，21=PD7，解得PD=32016年8月14日
