1、内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2020-2021学年高二数学下学期第二次月考试题 理一、单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线：，：，则“”是“”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若(其中)，则（ ）ABC1D23执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）ABCD4某班30人的数学期中考试成绩的茎叶图如下，若将成绩按由低到高编号，再用系统抽样方法从中抽取6人，若113分被抽到，则成绩在上被抽到的人数为（ ）ABCD5某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该
2、班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）A10B9C8D76甲乙两人约定某日一起到火车站坐大巴车到某地旅游两人做如下约定：两人都在上午8：0010：00到达车站；若一人先到达车站时另一人还未到达，先到者最多等一班车已知车站到旅游目的地的车上午7：00首发，然后每隔半小时发一班若一定有座位，则他们坐同一班车去旅游的概率为（ ）ABCD7若，则（ ）ABCD8某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三
3、个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为ABCD9已知四棱锥的底面是矩形，其中，平面平面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（）ABCD10中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（ ）A种B种C种D种11已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若，则双曲线C的离心率e的值为（ ）ABC2D12已知函数，若的解集为，且中只有两个整数，则（ ）A无
4、最值B的最小值为C的最大值为D的最小值为二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如下图所示：x23456y2.23.85.56.5p经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程，则p的值为_.14甲、乙等4人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是_.15已知锐角中，延长到点，使，则_.16已知，若点是抛物线上的任意一点，点是圆上任意一点，则最小值是_三、解答题17已知数列满足：，数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的
5、前项和.18如图，在四棱锥，底面，为棱上一点.（1）确定点E的位置，使得直线平面；（2）若二面角的正弦值为，求直线与平面所成角的余弦值.192017年8月27日9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0
6、246.6357.879（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宜传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.20已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，试求四边形的面积S的取值范围.21已知函数（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（2）当时，证明：选考题：共10分，请考生在22、23题中
7、任选-题作答，如果多做则按所做的第题计分.选修4-4坐标系与参数方程22在直角坐标系中，曲线的参数方程为：(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积.23已知函数.（1）求不等式f(x)2的解集M；（2）当xM时，求实数a的取值范围.理科试题参考答案1B【分析】由两直线垂直求得的值，然后由充分必要条件的定义判断【详解】的充要条件是，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件故选：B2C【分析】，然后建立方程组求解即可.【详解】由题意得，解得，故选：C
8、3D【分析】根据程序执行的结果，由程序逻辑列出执行步骤及其结果，结合循环体各次迭代所得结果判断条件即可.【详解】由程序框图，其执行结果如下：1、：，执行循环体；2、：，执行循环体；3、：，执行循环体；4、：，执行循环体；5、：，跳出循环体，输出；框内条件应为.故选：D.4B【分析】确定系统抽样每组的人数，由此可确定随机数，得到所抽取的分数，由此得到所求人数.【详解】将人平均分为组，则每组人，分为第组第位，则抽得的分数分别为：、.成绩在上被抽到人.故选：B.5B【分析】由,根据对称性得出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解【详解】因为数学成绩，所以由可得：，所以该班学生数学成
9、绩在120分以上的概率为：，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）故答案为：9.【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解6D【分析】设甲到的时间为，乙到的时间为，画图，利用几何概型求解即可.【详解】设甲到的时间为，乙到的时间为，则，并且，如图：因为车每隔半小时发一班，并且先到者最多等一班车，说明甲在内到时，乙在之内到都满足甲乙坐同一班车，图中阴影部分是甲，乙坐同一班车的时间段.所以（甲，乙坐同一班车），故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查几何概型，分析题意，画出图像是
10、解决本题的关键.7A【分析】由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值【详解】由，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键8A【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.9A【分析】先利用垂直关系证明，结合线线
11、成角在中求得，证得是等边三角形，再根据外接球的定义过两个平面图形的中心作垂线找到外接球球心，最后利用边长关系和表面积公式进行计算即可.【详解】如图所示四棱锥，平面平面，取中点E， 则，平面，故，又，可知平面，故.依题意，底面是矩形，直线与所成角的余弦值为，即直线与所成角的余弦值为，故中，由知，故，又由，知，是等边三角形，故的三等分点F（距离E近的三等分点）是三角形中心，过F作平面的垂线，过矩形的中心O作平面的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.，设外接球半径R，则，所以四棱锥的外接球表面积为.故选：A.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面
12、体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10B【分析】将名志愿者分成组，根据分组方法可确定共种分组方法；将组志愿者分到个社区，结合分步乘法计数原理可计算求得总的安排种数；利用分组分配的方法可求得甲、乙在同一社区的方法种数，利用总的安排种数减掉甲、乙在同一社区的方法种数即可得到结果.【详解】把名志愿者分成组，每组至少人，则有，两种分组方式，则共有种
13、分组方法；再将分好的组志愿者分到个社区，共有种安排方法；其中，甲、乙在同一社区的有：种，不同的安排方法共有种.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）平均分组问题先选好人后，平均分了组，则除以；（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.11A【分析】先利用点到直线的距离公式计算，得到，在和中计算的正切值，再结合和正切的二倍角公式化简计算得到，即得到.【详解】如图所示，渐近线，即，焦点F到渐近线ON的距离，则，而，故.中
14、，中， .由渐近线对称性可知，故，故，化简得，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值或取值范围的常见方法：（1）直接法：由a，c直接计算离心率；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.12D【分析】原不等式化为，设，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.【详解】由，得，设，所以在的上单调递增，在单调递减，而的图象是一条恒过点的直线，函数与的图象如图所示，依题意得，若中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则，即，解得，故的最小值为，故选：D.【点睛】方法点
15、睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质13【分析】计算，故，代入计算得到答案.【详解】，故，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.14【分析】根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：，即可得到答案.【详解】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件数：，甲不跑第一棒，乙跑第二
16、棒的基本事件有，所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有， 所以由古典概型的概率公式得：在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.15【分析】先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，再由正弦定理求得，设，则，用余弦定理可得关于的方程，解方程可得，进而可求得的面积.【详解】因为，由余弦定理得，所以，则.设，则，因为，所以，由余弦定理得，即，解得或（舍），所
17、以，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由正弦定理求得，设，则，用余弦定理可得关于的方程，解方程可得，进而求得.16【分析】抛物线的焦点为，准线方程为由题意得，所以，即的最小值为令，则点的横坐标为，由此得，然后再根据基本不等式求解可得结果【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为又点是抛物线上一点，点是圆上任意一点，令，点的坐标为，则，当且仅当，即时等号成立的最小值为故答案为【点睛】本题考查抛物线定义及其应用，点与圆的位置关系、距离等问题，解题的关键是首先得到的最小值，然后再根据基本不等式求出在最小值的最小值考查推理论证和转化思想的运用及计算能力，属于中高档题17（1）；（2）
18、【分析】（1）由可求出；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】解：（1）当时，当时，则，当时也满足，数列的通项公式为：；（2）由（1）可知.数列的前项和.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.18（1）为的中点；（2）.【分析】（1）直线平面时，平面与平面的交线与平行，注意到与平面平行，因此是中点，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以为坐标原点，以，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，由空
19、间向量法求二面角确定点位置，再由线面角的余弦【详解】解：（1）为的中点.取PA的中点F，连EFFD，E为PB的中点，即，又，则四边形CDFE为平行四边形，故，故面.（2）以为坐标原点，以，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则.设，则.在棱上，可设().故，解得，即.设平面的法向量为，即，取，则.设平面的法向量，即，取，则.二面角的正弦值为，则余弦值为，即，即.又，解得，即，.轴平面，平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则.故与平面所成角的余弦值为.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面
20、直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）19(1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）；答案见解析.【分析】（1）根据题意计算，故有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）根据题意，选取的8人中，男生人，女生人，进而根据条件概率求解即可；根据题意，服从超几何分布，进而根据超几何分
21、布求解即可.【详解】解：（1）因为，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.（2）根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生人，女生人，记事件“选出的两人中有女生”，共有或种不同的选法，“选出的两人为一名男生一名女生”，共有种不同的选法，则根据题意，所有可能取值为所以的分布列为012P(或服从超几何分布，.)【点睛】本题考查独立性检验，条件概率，超几何概型，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意得选取的8人中，男生人，女生人，进而服从超几何分布，再根据超几何概型求解即可.20（1）；（2）.【分析】(1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解；(2)按直线l1的斜
22、率是否存在及是否为0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起S的函数关系，探讨其值域即可得解.【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率得半焦距，所以椭圆的标准方程为：；（2）由(1)知点，当直线的斜率为0时，直线的方程为，则，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，此时，可得；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，此时，直线的方程为，则，可得；当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线，由得，设，则，所以，同理可得，所以由于（当时取等号），所以，综合可知，四边形面积的取值范围是【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2
23、，y2)间的距离；直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.21（1），在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）由极值点与导数的关系，求出的值，再根据即可求函数单调性；（2）先将放缩，转化为求的最小值即可证明.【详解】（1）函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，；时，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，设，则，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以存在使得，所以当时，当时，所以在单调递减，在上单调递增，所以，因为，即，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要
24、考查函数的极值与导数的关系、利用导数研究函数的单调性，放缩法证明不等式及利用函数单调性研究不等式恒成立问题，属于能力提升题.22（1）的极坐标方程为：，的直角坐标方程为：；（2）.【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数可得的普通方程，即可得出极坐标方程，再将的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；（2）将分别代入和的极坐标方程可求得极坐标，即可求出面积.【详解】解：（1）由题意得：，消去，即化简为：，的极坐标方程为：，由得：即：的直角坐标方程为：（2）由得：，由得：，.【点睛】关键点睛：本题考查极坐标方程的化简与应用，解题的关键是正确理解极坐标的几何意义.23（1）；（2）(0，1).【分析】(1
25、)去掉绝对值号得，分成和两种情况解不等式.(2)由(1)可得，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】解：（1），当时，；当时，由，得.综上所述，不等式的解集M为.（2）由（1）得，当时，那么，从而可得，解得，即实数a的取值范围是(0，1).24（1）；（2）.【分析】（1）将代入，零点分段法去绝对值，分段求解最后求并集即可；（2）当时，恒成立，分情况讨论当时和时，的正负，去绝对值，代入判断是否恒成立，从而求出的范围.【详解】（1）当时，等价于或或解得或或，所以不等式的解集为； （2）当时，且，当时，因为，而，所以恒成立，所以满足题意；当时，当，此时不恒成立，故不满足题意；综上，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：（1）解绝对值不等式常用的方法是零点分段法，去绝对值分段求解；（2）绝对值内含参数的绝对值不等式，常用分类讨论的方法去绝对值，再分情况讨论求解.
