1、2012学年度上海市复兴高级中学高二年级第一学期数学期中练习试卷一、填空题（每题3分，共36分）1若则 2计算：= 3等差数列中，则 4设且则 5若数列是等差数列，则数列（）也为等差数列；类比上述性质，相应地若数列是等比数列，且，则有 也是等比数列6在数列中，如果存在非零常数,使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列的周期数列，其中叫做数列的周期已知周期数列满足且，当数列的周期最小时，该数列前2012项和是 7已知定义在R 上的函数，都有成立，设，则数列 中值不同的项最多有 项。8用数学归纳法证明：的第二步中，当时等式左边与n=k时的等式左边的差等于 9已知的正整数n的值为 10从数列中可
2、以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为 11 设数列是公差为的等差数列，是互不相等的正整数，若，则.请你用类比的思想,对等差数列的前项和为,写出类似的结论若 则 。12. 已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：数列0,1,3,5,7具有性质； 数列0,2,4,6,8具有性质；若数列具有性质，则；若数列具有性质，则.其中真命题有 二、选择题（每题3分，共12分）13关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 （ ） -1 -14、已知数列中，（kN+），用数学归纳法证明能被4整除时，假设
3、能被4整除，应证 （ ） （A）能被4整除 （B）能被4整除（C）能被4整除 （D）能被4整除15、若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素的含义如下：表示语文成绩，表示数学成绩，表示英语成绩，表示语数外三门总分成绩表示第名分数。若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上 （ ）（A）语文 （B）数学 （C）外语 （D）都一样16、关于的齐次线性方程组的系数矩阵记为A，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；表示行列式B的值，该行
4、列式中元素与矩阵B完全相同）则 （ ）（A），且 （B），且 （C），且 （D），且 三、解答题（每题4分，共52分）17、（本大题满分6分）用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组解的情况并求解。18（本大题满分10分）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列， 试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2012项和
5、19（本题满分18分） 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求。20. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于.（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；（2）求证：；求证：；（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列.附加题21、（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满
6、分8分，第2小题满分6分） 如图，是曲线上的点，是轴正半轴上的点，且， 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；（2）猜测并证明数列的通项公式；（3）设，集合，若，求实常数的取值范围2.（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（文）设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.2.(理科) 已知数列满足.（1） 若,计算的值,并写出数列的通项公式;（2） 是否存在,使得当时, 恒为常数,若存在,求出,否则
7、说明理由;(3) 若,求的前项的和(用表示).3.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明.（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.2012学年度上海市复兴高级中学高二年级第一学期数学期中练习试卷答案：12 3 60 4 65 也是等比数列6134074 8 3k+2 9
8、 2 10 11 12. ，13 B 14、A 15、B 16、C 16解：方程组有非零解，于是系数行列式，解法一：将选项中带入，验证为零，于是答案在C或D中；解法二：将该行列式展开可得到，于是所以，设矩阵，由AB得到零矩阵，得知，。由于只需考虑行列式B的值是否为0，即是否为零。解法一：作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反数时，（不妨选），于是D不对，只能选C。解法二：按照书中推导三元方程组的解答方法证明，具体过程如下： （书中P100页，y，z前系数为0方法一致）解法三：由行列式性质可将第1行，第2行元素加到第3行中去，行列式的值不变，于是新行列式的第三行
9、各元素均为0，行列式的值为0。17解：,当时，方程组有唯一解，解为（2分，其中解1分）（1） 当时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令，原方程组的解为。（2分，没写出解扣1分）18 解：（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2）， ，当时，取得最大值的最大值为626 19 解：（1）因为所以其值域为于是又（2）因为所以8分法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1不符合。9分当，则当（3）因为所以的值域为于是则又则有进而有20解：（1）对于集合：集合具有对于集合：，集合不具性质（2） 。，（3）当时，集合中元素一定成等差数列证
10、明：当时， 即，又，故成等差数列 当时，集合中元素不一定成等差数列 如中0,1,2,3组成等差数列；中0,2,3,5不组成等差数列 当时，成等差数列证明：当时，。成等差数列附加题1、（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第2小题满分6分） 如图，是曲线上的点，是轴正半轴上的点，且， 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；（2）猜测并证明数列的通项公式；（3）设，集合，若，求实常数的取值范围1解：（1）依题意，有，（2）由得，即猜测 证明：当时，可求得，命题成立；假设当时，命题成立，即有，则当时，由归纳假设及，得即解得
11、（不合题意，舍去）即当时，命题成立 综上所述，对所有，（3） 因为函数在区间上单调递增，且，所以由，有或， 故，2（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（文）设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.2.(理科) 已知数列满足.（2） 若,计算的值,并写出数列的通项公式;（2） 是否存在,使得当时, 恒为常数,若存在,求出,否则说明理由;(3) 若,求的前项的和(用表示).2.解：文（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ， ， Sn=.（2） （3）由(
12、2)知， ，成等比数列. 即当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列.综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列.另解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ， ； Sn=. 6分 （2） ， 。 （3）由(2)知， ， 成等比数列. ，取倒数再化简得 当时，=16，符合题意； ，而，所以，此时不存在正整数m、n , 且1mn,使得成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 2.理解(1) ,
13、以此类推 时, 其中. (2) 时, .若时, ,此时只需,故存在. 若时,不妨设若时,时, ,时,.若,不妨设,则. 故存在三组 和: ; ; ;其中 (3) ,时, . 3.（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明.（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.25解：（1
14、）命题“在等差数列中，若，则有（）”正确.证明：设等差数列的首项为，公差为，由得:=，所以命题成立. （2）解法一：在等差数列中，若，则有（）.显然，当时为以上某同学的猜想. 证明：设等差数列的首项为，公差为，由，所以命题成立. （3）解法一：在等比数列中，若，则有（）.（13分）证明：设等比数列的首项为，公比为，由（）得，所以命题成立. （2）解法二：在等差数列中，若，且则有（）.显然，当时为某同学的猜想证明：设等差数列的首项为，公差为，由，且得=，所以命题成立。 （3）解法二：在等比数列中，若，且，则有（）.证明：设等比数列的首项为，公比为，由，且得，=，所以命题成立得到以下一般命题不得分（）：（1）在等差数列中，若，则有.类比：在等比数列中，若，则有.（2）在等差数列中，若，则有.类比：在等比数列中，若，则有.（3）在等差数列中若,则有.类比：在等比数列中，若，则有.（4）在等差数列中，若，则有.类比：在等比数列中，若，则有
