1、第2课时椭圆的简单性质1.进一步理解椭圆的标准方程及a,b,c之间的关系.2.掌握椭圆的几何图形及简单几何性质,并能利用简单几何性质求椭圆的标准方程.3.根据椭圆的标准方程,讨论研究其几何性质,使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法,加深对曲线与方程的理解,同时提高分析问题和解决问题的能力.1998年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通讯卫星,卫星运行的轨迹是以地球中心为一个焦点的椭圆.若卫星的近地点高度(即轨道上的点到地球表面的最近距离)为m km,远地点高度为n km,地球半径为R km,且该轨迹上两点M,N和轨迹中心O在一条
2、直线上.问题1:在上述情境中,|OM|与|ON|之间的大小为,|MN|的最小值是,|AF|=m+R=a-c,|BF|=n+R=a+c,a2-c2=(m+R)(n+R),即b=,当M位于M,N位于N时,|MN|取最小值.问题2:根据椭圆的简单几何性质填写下表:椭圆的简单几何性质图形标准方程+=1(ab0)+=1(ab0)范围-axa,-byb-bxb,-aya焦点(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)顶点(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)(-b,0),(b,0),(0,-a),(0,a)对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称离心率e=,0eb问题3:椭圆的焦距
3、与长轴长的比e=,叫作椭圆的.ac0,0eb0)上任意一点,|PO|=,-axa,当x=0时,|PO|有,这时P在短轴端点B1或B2处.当x=a时,|PO|有,这时P在长轴端点A1或A2处.1.椭圆x2+4y2=1的离心率为().A.B.C.D.2.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为().A.+y2=1B.x2+=1C.+=1D.+=13.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为.4.求椭圆+y2=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.利用标准方程研究几何性质求椭圆9x2+16y2=14
4、4的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.由椭圆的几何性质求标准方程已知在椭圆C中,长轴长为2a,焦距为2c,且a+c=10,a-c=4,求椭圆C的标准方程.与离心率有关的问题(1)椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为().A.B.C.D.-2(2)椭圆+=1(ab0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使APO=90,求椭圆的离心率的取值范围.椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=1(0kb0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F
5、1,ABOM.(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求F1QF2的取值范围.1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m等于().A.B.C.2D.42.椭圆+=1和+=k(k0)具有().A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率3.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.4.点P是椭圆+=1上一点,F1、F2是其焦点,若F1PF2=60,求F1PF2的面积.(2013年新课标卷)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为().A.B
6、.C.D.考题变式(我来改编):第2课时椭圆的简单性质知识体系梳理问题1:|OM|=|ON|2问题2:问题3:离心率(1)扁(2)圆(3)重合问题4:最小值最大值基础学习交流1.A将椭圆方程x2+4y2=1化为标准方程x2+=1,则a2=1,b2=,c=,故离心率e=.2.A因为=,且c=,所以a=,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.3.(0,)由题意知,椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=,故焦点坐标为(0,).4.解:已知方程为+=1,所以a=2,b=1,c=,因此,椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=4,2b=2,离心率e=,两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),椭圆的四
7、个顶点是A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).重点难点探究探究一:【解析】已知方程化成标准方程为+=1,于是a=4,b=3,c=,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e=,又知焦点在x轴上,两个焦点坐标分别是F1(-,0)和F2(,0),四个顶点坐标分别是A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和B2(0,3).【小结】解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系和定义,求椭圆的基本量.探究二:【解析】因为所以a=7,c=3,所以b2=a2-c2=72-32=40.所
8、以椭圆C的标准方程为+=1.问题本题中椭圆的焦点是在x轴上吗?有没有可能在y轴上?结论由于题目中没有告诉我们焦点的位置,因此所求标准方程有两种情况:焦点在x轴上;焦点在y轴上.于是,正确解答为:焦点在x轴上时,设方程为+=1(ab0),则有解得a=7,c=3.所以b2=a2-c2=72-32=40.所以椭圆的标准方程为+=1.焦点在y轴上时,设标准方程为+=1(ab0),则有解得a=7,c=3,所以b2=a2-c2=72-32=40.所以标准方程为+=1.综上所述,椭圆C的标准方程为+=1或+=1.【小结】利用性质求椭圆的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式
9、并列出有关参数的关系式,利用解方程(组)求解,同时注意a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论.还要注意两点:(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,一般步骤为:求出a2,b2的值;确定焦点所在的坐标轴;写出标准方程.(2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论,并且体会方程思想在解题中的应用.探究三:【解析】(1)由椭圆的几何性质可知:=a-c,=2c,=a+c,又,成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得=e.故应选B.(2)设P(x,y),由APO=900知:P点在以OA为直径的圆上.圆的方程是:(x-)2+y2=()2y2=ax-x2.又P点
10、在椭圆上,故:+=1.把代入得:+=1(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.故(x-a)(a2-b2)x-ab2=0.又0xa,x=.即0a2b2a2a2.又0e1,故所求的椭圆离心率的取值范围是eb0)或+=1(ab0).由已知得,2a=10,a=5.又e=,c=4.b2=a2-c2=25-16=9.椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2)依题意,可设椭圆方程为+=1(ab0).如图所示,A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,c=b=3,a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为+=1.应用三:(1)F1(-c,0),则xM=-c
11、,yM=,kOM=-.kAB=-,OMAB,-=-,b=c,故e=.(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,F1QF2=,r1+r2=2a,|F1F2|=2c,cos =-1-1=0,当且仅当r1=r2时,cos =0,0,.基础智能检测1.A将椭圆方程化为标准方程为x2+=1,焦点在y轴上,1,0m0)中,不妨设ab,椭圆+=1的离心率e1=,椭圆+=1(k0)的离心率e2=.3.4或-当k+89时,e2=,k=4;当k+89时,e2=,k=-.4.解:设|PF1|=u,|PF2|=v,则由椭圆的定义及余弦定理可得解得uv=48,=uvsin 60=12.全新视角拓展D由题意可得|PF1|=2|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a,则|PF2|=a,而|PF2|=,a=,则a2=b2=a2-c2,则=.
